10. (1)如图 1,在 $\triangle ABC$ 中,$ AB = AC $,点 $ D $ 是 $ BC $ 的中点,点 $ E $ 在 $ AD $ 上. 求证：$ BE = CE $.

(2)如图 2,若 $ BE $ 的延长线交 $ AC $ 于点 $ F $,且 $ BF \perp AC $,垂足为 $ F $,$ \angle BAC = 45 ^ { \circ } $,原题设其他条件不变. 求证：$ \triangle AEF \cong \triangle BCF $.

1. （1）
证明：
因为$AB = AC$，点$D$是$BC$的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AD\perp BC$，$BD = CD$。
所以$AD$是$BC$的垂直平分线。
又因为点$E$在$AD$上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$BE = CE$。
2. （2）
证明：
因为$\angle BAC=45^{\circ}$，$BF\perp AC$，所以$\triangle ABF$是等腰直角三角形，那么$AF = BF$。
由（1）知$AD\perp BC$，即$\angle EAF+\angle C = 90^{\circ}$，又因为$BF\perp AC$，所以$\angle CBF+\angle C = 90^{\circ}$。
根据同角的余角相等，可得$\angle EAF=\angle CBF$。
在$\triangle AEF$和$\triangle BCF$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle EAF=\angle CBF\\AF = BF\\\angle AFE=\angle BFC = 90^{\circ}\end{array}\right.$（$ASA$判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等）。
所以$\triangle AEF\cong\triangle BCF$。

11. 根据图中的对话内容,解决下列问题：
(1)赵小明求出的多边形的内角和为 $ 2014 ^ { \circ } $,李佳怡为什么说不可能？
因为多边形内角和一定是$180^{\circ}$整数倍，$2014^{\circ}$不是$180^{\circ}$整数倍，所以不可能。
(2)赵小明求的是几边形的内角和？他多加的那个外角是多少度呢？
赵小明求的是边形的内角和，他多加的那个外角是。

【解析】：
(1) 因为多边形内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$（$n\geqslant 3$且$n$为整数），所以多边形内角和一定是$180^{\circ}$的整数倍。$2014÷180 = 11\cdots\cdots34$，$2014^{\circ}$不是$180^{\circ}$的整数倍，所以不可能。
(2) 设这个多边形边数为$n$，多加的外角度数为$x$（$0\lt x\lt180$），则$(n - 2)×180^{\circ}+x = 2014^{\circ}$，$n - 2=\dfrac{2014 - x}{180}=11+\dfrac{34 - x}{180}$。因为$n$为整数，所以$34 - x$是$180$的倍数，又因为$0\lt x\lt180$，所以$x = 34^{\circ}$，$n - 2=\dfrac{2014 - 34}{180}=11$，$n = 13$。
【答案】：
(1) 多边形内角和一定是$180^{\circ}$整数倍，$2014^{\circ}$不是$180^{\circ}$整数倍，所以不可能。
(2) 十三边形，多加的外角是$34^{\circ}$。