14. 有一个数学游戏,如图,一个实数从$A$、$B$、$C$三个位置中任选一个位置出发,按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置. 例如：将$3按照B\to C$(或$C\to B$)的顺序进行运算,是将$3$经过“乘以$-2$”的运算得出结果$-6$.
(1)将$-2按照A\to B\to C\to A$的顺序进行运算,列出算式并求出运算结果；
(2)将一个大于$3的数按照A\to C\to B\to A$的顺序进行运算,发现运算结果总小于$1$. 请验证这个结论.

1. （1）
解：
按照$A\to B\to C\to A$的顺序进行运算。
从$A$到$B$：$-2$经过“加上$1$”的运算，得到$-2 + 1$；
从$B$到$C$：$(-2 + 1)$经过“乘以$-2$”的运算，得到$(-2 + 1)×(-2)$；
从$C$到$A$：$(-2 + 1)×(-2)$经过“减去$3$”的运算。
列出算式为$(-2 + 1)×(-2)-3$。
先算括号内：$-2 + 1=-1$；
再算乘法：$(-1)×(-2)=2$；
最后算减法：$2-3=-1$。
2. （2）
解：
设这个大于$3$的数为$x$（$x\gt3$）。
按照$A\to C\to B\to A$的顺序进行运算。
从$A$到$C$：$x$经过“减去$3$”的运算，得到$x - 3$；
从$C$到$B$：$(x - 3)$经过“乘以$-2$”的运算，得到$(x - 3)×(-2)=-2x + 6$；
从$B$到$A$：$(-2x + 6)$经过“加上$1$”的运算，得到$-2x+6 + 1=-2x + 7$。
因为$x\gt3$，不等式两边同时乘以$-2$，不等号方向改变，得$-2x\lt-6$；
不等式两边同时加$7$，得$-2x + 7\lt-6 + 7$，即$-2x + 7\lt1$。
综上，（1）的运算结果为$-1$；（2）验证成立。

15. 【阅读感悟】
代数证明题是数学中常见的一种题型,它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性,如下例题.
例：已知实数$m$、$n满足m ＞ n ＞ 0$,证明$m^{2} ＞ n^{2}$.
证明：$\because m ＞ n且m$,$n$均为正,
$\therefore m^{2} ＞$____,$mn ＞$____(不等式的两边都乘以同一个正数,不等号的方向不变).
$\therefore m^{2} ＞ n^{2}$(不等关系具有传递性).
【解决问题】
(1)请将上面的证明过程填写完整；
(2)证明：若$x ＜ y$,则$\frac{x + 2y}{3} ＜ y$.

$(1)$ 填写证明过程
已知$m\gt n$且$m$，$n$均为正，根据不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变：
不等式$m\gt n$两边同时乘以$m$，得到$m^{2}\gt mn$；
不等式$m\gt n$两边同时乘以$n$，得到$mn\gt n^{2}$。
故横线处依次填$mn$、$n^{2}$。
$(2)$ 证明$\frac{x + 2y}{3} \lt y$
解：
已知$x\lt y$，
不等式两边同时加上$2y$，根据不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变，可得$x + 2y\lt y+ 2y$，即$x + 2y\lt 3y$。
不等式$x + 2y\lt 3y$两边同时除以$3$，根据不等式的两边都除以同一个正数，不等号的方向不变，可得$\frac{x + 2y}{3} \lt \frac{3y}{3}$，即$\frac{x + 2y}{3} \lt y$。
综上，$(1)$答案依次为$\boldsymbol{mn}$、$\boldsymbol{n^{2}}$；$(2)$证明如上。