7. 如图,△ABC 内接于⊙O,AH⊥BC 于点 H. 若 AC=10,AH=8,⊙O 的半径为 7,则 AB 的长为.

56/5

作直径AD，连接BD，则∠ABD=90°（直径所对圆周角是直角）。
∵AH⊥BC，∴∠AHC=90°，故∠ABD=∠AHC。
∵∠ADB=∠ACB（同弧所对圆周角相等），
∴△ABD∽△AHC（AA相似）。
∴AB/AH=AD/AC。
∵AD为直径，⊙O半径为7，∴AD=14。
又AH=8，AC=10，代入得AB/8=14/10，解得AB=56/5。

8. 已知∠ACB=90°,将△ABC 按如图的位置放在直角坐标系中,若点 A(0,2),点 C(1,0),点 B 的横坐标为 4,求点 B 的纵坐标.

3/2

设点B的坐标为(4,y)，过点B作BD⊥x轴于点D，则D(4,0)，CD=4-1=3，BD=y。
∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCD=90°。
∵∠AOC=90°，∴∠ACO+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BCD。
∴Rt△AOC∽Rt△CDB（两角对应相等，两三角形相似）。
∵A(0,2)，C(1,0)，∴AO=2，OC=1。
由相似三角形对应边成比例得：AO/CD=OC/BD，即2/3=1/y，解得y=3/2。

9. 如图,四边形 ABCD 为菱形,点 E 在 AC 的延长线上,且∠ACD=∠ABE.
(1)求证:△ABC∽△AEB；
(2)当 AB=6,AC=4 时,求 AE 的长.

【解析】：(1)
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BCD，即∠ACD=∠ACB。又∠ACD=∠ABE，
∴∠ACB=∠ABE。
∵∠BAC=∠EAB（公共角），
∴△ABC∽△AEB（两角对应相等，两三角形相似）。
(2)
∵△ABC∽△AEB，
∴AC/AB=AB/AE。
∵AB=6，AC=4，
∴4/6=6/AE，解得AE=9。
【答案】：(1)证明见解析；(2)9

(1)
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BCD，即∠ACD=∠ACB。又∠ACD=∠ABE，
∴∠ACB=∠ABE。
∵∠BAC=∠EAB（公共角），
∴△ABC∽△AEB（两角对应相等，两三角形相似）。
(2)
∵△ABC∽△AEB，
∴AC/AB=AB/AE。
∵AB=6，AC=4，
∴4/6=6/AE，解得AE=9。

10. (2025 连云港中考改编)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AD 平分∠CAB,BE⊥AD,E 为垂足.
(1)若∠CAB=45°,则$\frac{AD}{BE}$的值为；
(2)若∠CAB=30°,求$\frac{AD}{BE}$的值.

(1)2；(2)2√3

(1)延长AC、BE交于点F，∵AD平分∠CAB，BE⊥AD，∴△ABF为等腰三角形，AF=AB，BE=EF，即BF=2BE。∵∠ACB=90°=∠BCF，∠CAD+∠ADC=90°，∠CBF+∠BDF=90°，∠ADC=∠BDF，∴∠CAD=∠CBF，∴△ACD∽△BCF，∴AD/BF=AC/BC，即AD/(2BE)=AC/BC。当∠CAB=45°时，△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，∴AD/BE=2AC/BC=2。
(2)当∠CAB=30°时，设BC=a，则AB=2a，AC=√3a。由(1)知AD/BE=2AC/BC=2×√3a/a=2√3。