10. 一次函数$y = kx + b$与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于$A(1,n)$，$B(3,t)$两点，则关于$x$的方程$\frac{m}{x}-kx = b$的解是。

$x = 1$或$x = 3$

方程$\frac{m}{x}-kx = b$可变形为$\frac{m}{x}=kx + b$，其解为一次函数$y = kx + b$与反比例函数$y=\frac{m}{x}$图象交点的横坐标。已知两函数交于$A(1,n)$，$B(3,t)$，故方程的解为$x = 1$或$x = 3$。

11. 如图，一次函数$y = k_{1}x + b$的图象与反比例函数$y=\frac{k_{2}}{x}$的图象相交于$A$，$B$两点，其中点$A$的坐标为$(-1,4)$，点$B$的坐标为$(4,n)$。根据图象，直接写出满足$k_{1}x + b＞\frac{k_{2}}{x}$的$x$的取值范围为。

$x ＜ -1$或$0 ＜ x ＜ 4$

根据题意，首先利用点A的坐标$(-1,4)$代入反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$，求出$k_2$的值：
$4 = \frac{k_2}{-1} \implies k_2 = -4$，
因此反比例函数的解析式为：
$y = \frac{-4}{x}$，
将点B的坐标$(4,n)$代入反比例函数解析式，求出$n$的值：
$n = \frac{-4}{4} = -1$，
所以点B的坐标为$(4,-1)$。
利用点A和点B的坐标代入一次函数$y = k_1x + b$，建立方程组：
$\begin{cases}-k_1 + b = 4 ,\\4k_1 + b = -1.\end{cases}$
解得$k_1 = -1, \quad b = 3$，
因此一次函数的解析式为：
$y = -x + 3$，
根据图象，一次函数$y = -x + 3$的图象在反比例函数$y = \frac{-4}{x}$的图象上方时，对应的$x$的取值范围即为所求。
通过观察图象或计算交点，可以得出当$x ＜ -1$或$0 ＜ x ＜ 4$时，一次函数的图象位于反比例函数的图象上方。

12. （2025 资阳中考）如图，在平面直角坐标系中，$O$为坐标原点。一次函数$y = kx - 2$的图象与$x$轴交于点$A(-1,0)$，与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于点$B(-2,a)$，射线$BO$与反比例函数的图象交于点$C$，连接$AC$。
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求$△ ABC$的面积。

（1）一次函数解析式为y=-2x-2，反比例函数解析式为y=-4/x；（2）2

（1）将点A(-1,0)代入y=kx-2，得0=-k-2，解得k=-2，∴一次函数解析式为y=-2x-2。
将x=-2代入y=-2x-2，得y=2，∴B(-2,2)。
将B(-2,2)代入y=m/x，得2=m/(-2)，解得m=-4，∴反比例函数解析式为y=-4/x。
（2）设直线BO解析式为y=nx，将B(-2,2)代入得2=-2n，解得n=-1，∴y=-x。
联立y=-x与y=-4/x，得-x=-4/x，解得x=2或x=-2（x=-2为点B），∴C(2,-2)。
A(-1,0)，B(-2,2)，C(2,-2)，由坐标面积公式：S=1/2|x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)|=1/2|(-1)(2+2)+(-2)(-2-0)+2(0-2)|=1/2| -4+4-4|=2。

13. 家用电灭蚊器的发热部分使用了$PTC$发热材料，它的电阻$R(k\Omega)$随温度$t(^{\circ}C)$（在一定范围内）变化的大致图象如图所示。通电后，发热材料的温度在由室温$10^{\circ}C$上升到$30^{\circ}C$的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到$30^{\circ}C$时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升$1^{\circ}C$，电阻增加$\frac{4}{15}k\Omega$。
（1）求当$10≤ t≤ 30$时，$R$与$t$之间的函数关系式；
（2）求温度在$30^{\circ}C$时电阻$R$的值，并求出$t＞ 30$时，$R$与$t$之间的函数关系式；
（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过$6k\Omega$？

（1）$R = \frac{60}{t}$；
（2）$R = 2k\Omega$，$t ＞ 30$时，$R = \frac{4}{15}t - 6$；
（3）$10 ≤ t ≤ 45$；

（1）当$10 ≤ t ≤ 30$时，电阻与温度成反比例关系，设$R = \frac{k}{t}$，代入点$(10, 6)$，即$6 = \frac{k}{10}$，解得$k = 60$，所以$R = \frac{60}{t}$。
（2）当$t = 30^{\circ}C$时，$R = \frac{60}{30} = 2(k\Omega)$，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升$1^{\circ}C$，电阻增加$\frac{4}{15}k\Omega$，所以当$t ＞ 30$时，电阻的函数关系式为：
$R = 2 + \frac{4}{15}(t - 30) = \frac{4}{15}t - 6$。
（3）从图中可知，$R$随$t$的增加而减少（在$10 ≤ t ≤ 30$范围内），且在$t = 10$和$t = 30$时，$R$均不超过$6k\Omega$，当$t ＞ 30$时，由$\frac{4}{15}t - 6 ≤ 6$，可得：
$\frac{4}{15}t≤ 12$，
$t ≤ 45$，
因此温度在$10^{\circ}C$至$45^{\circ}C$范围内时，电阻不超过$6k\Omega$。