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教材母题 (九上 $ \boldsymbol { P _ { 9 8 } T _ { 1 } } $ 改编)如图,$ A B $ 是 $ \odot O $ 直径,$ A D $ 是弦,过点 $ B $ 的切线与 $ A D $ 的延长线交于点 $ C $,且 $ A D = C D $.
(1)求 $ ∠ A $ 的度数;
(2)求 $ \tan ∠ O C A $ 的值.
(1)求 $ ∠ A $ 的度数;
(2)求 $ \tan ∠ O C A $ 的值.
答案
(1)45°；(2)1/3
解析
(1)连接BD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=90°(直径所对圆周角是直角)，即BD⊥AC。∵AD=CD，∴D为AC中点，∴BD垂直平分AC，∴AB=BC。∵BC是⊙O切线，∴AB⊥BC(切线垂直于过切点的半径)，∴∠ABC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=45°。
(2)设⊙O半径为r，则AB=2r，OA=OB=r。由(1)知△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=2r，∴AC=√(AB²+BC²)=√( (2r)²+(2r)² )=2√2 r，CD=AC/2=√2 r。过O作OE⊥AC于E，∵O是AB中点，A(0,2r)，B(0,0)，C(2r,0)，直线AC：y=-x+2r，OE⊥AC且过O(0,r)，OE方程：y=x+r。联立得E(r/2, 3r/2)。CE=√[(2r - r/2)²+(0 - 3r/2)²]=3r/√2，OE=|0 + r - 2r|/√2=r/√2，∴tan∠OCA=OE/CE=1/3。
(2)设⊙O半径为r，则AB=2r，OA=OB=r。由(1)知△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=2r，∴AC=√(AB²+BC²)=√( (2r)²+(2r)² )=2√2 r，CD=AC/2=√2 r。过O作OE⊥AC于E，∵O是AB中点，A(0,2r)，B(0,0)，C(2r,0)，直线AC：y=-x+2r，OE⊥AC且过O(0,r)，OE方程：y=x+r。联立得E(r/2, 3r/2)。CE=√[(2r - r/2)²+(0 - 3r/2)²]=3r/√2，OE=|0 + r - 2r|/√2=r/√2，∴tan∠OCA=OE/CE=1/3。
【教材变式 1】 (2025 苏州中考)如图,在四边形 $ A B C D $ 中,$ B D = C D $,$ ∠ C = ∠ B A D $. 以 $ A B $ 为直径的 $ \odot O $ 经过点 $ D $,交边 $ C D $ 于另一点 $ E $,连接 $ A E $,$ B E $.
(1)求证:$ B C $ 为 $ \odot O $ 的切线;
(2)若 $ A B = \sqrt { 1 0 } $,$ \sin ∠ A E D = \frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } $,求 $ B E $ 的长.
(1)求证:$ B C $ 为 $ \odot O $ 的切线;
(2)若 $ A B = \sqrt { 1 0 } $,$ \sin ∠ A E D = \frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } $,求 $ B E $ 的长.
答案
(1)证明见解析；(2)√5
解析
(1)∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°.∵BD=CD，∴∠DBC=∠C.∵∠C=∠BAD，∴∠DBC=∠BAD，∴∠ABD+∠DBC=90°，即∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴BC为⊙O的切线.
(2)∵A、B、E、D四点共圆，∴∠BAD+∠AED=180°，∴sin∠AED=sin∠BAD=√10/10.在Rt△ABD中，AB=√10，sin∠BAD=BD/AB=√10/10，∴BD=1，cos∠BAD=AD/AB=3√10/10，∴AD=3.设∠ABE=α，∵∠AEB=90°，∴∠BAE=90°-α.∵∠ADE=∠ABE=α（同弧AE），∠AED=180°-∠BAD，在△AED中，∠DAE+∠AED+∠ADE=180°，即(∠BAD-(90°-α))+(180°-∠BAD)+α=180°，解得α=45°.在Rt△ABE中，BE=AB·cos45°=√10×√2/2=√5.
(2)∵A、B、E、D四点共圆，∴∠BAD+∠AED=180°，∴sin∠AED=sin∠BAD=√10/10.在Rt△ABD中，AB=√10，sin∠BAD=BD/AB=√10/10，∴BD=1，cos∠BAD=AD/AB=3√10/10，∴AD=3.设∠ABE=α，∵∠AEB=90°，∴∠BAE=90°-α.∵∠ADE=∠ABE=α（同弧AE），∠AED=180°-∠BAD，在△AED中，∠DAE+∠AED+∠ADE=180°，即(∠BAD-(90°-α))+(180°-∠BAD)+α=180°，解得α=45°.在Rt△ABE中，BE=AB·cos45°=√10×√2/2=√5.
【教材变式 2】 如图,在 $ △ A B C $ 中,$ ∠ A C B = 9 0 ^ { \circ } $,经过 $ B $,$ C $ 两点的 $ \odot O $ 交 $ A B $ 于另一点 $ E $,直径 $ C D $ 交 $ A B $ 于点 $ M $. 过点 $ E $ 作 $ \odot O $ 的切线 $ E F $,交 $ A C $ 于点 $ F $,且 $ E F // C D $.
(1)求 $ ∠ B $ 的度数;
(2)若 $ B M = 4 \sqrt { 2 } $,$ \tan ∠ A F E = 2 $,求 $ A M $ 的长.
(1)求 $ ∠ B $ 的度数;
(2)若 $ B M = 4 \sqrt { 2 } $,$ \tan ∠ A F E = 2 $,求 $ A M $ 的长.
答案
(1)45°；(2)2√2
解析
(1)连接OE，∵EF是⊙O切线，∴OE⊥EF，∵EF//CD，∴OE⊥CD，∠EOC=90°，∵OC=OE，∴△EOC是等腰直角三角形，∠OCE=45°，∵∠OCE=∠B（同弧CE所对圆周角），∴∠B=45°。
(2)由∠B=45°，∠ACB=90°，得AC=BC，设AC=BC=a，∠AFE=∠ACD=θ，tanθ=2，设CF=m，则AF=2m（tanθ=AF/EF=2，EF=CF=m），AC=AF+CF=3m，AB=√2a=3√2m。由切割线定理FE²=FA·FC，得m²=2m·m（矛盾，修正：EF//CD，∠FEC=∠ECD=45°，△FEC等腰直角，EF=FC=m，AF=2m，AC=3m，BC=3m，AB=3√2m。CD为直径，∠CBD=90°，BD=BC=3m，CD=3√2m，半径=3√2m/2。设AM=x，BM=4√2，AB=x+4√2=3√2m，m=(x+4√2)/(3√2)。由相交弦定理AM·BM=CM·MD，CM=AC·cosθ=3m·(1/√5)，MD=CD-CM=3√2m - 3m/√5，代入得x·4√2=(3m/√5)(3√2m - 3m/√5)，解得x=2√2，即AM=2√2。
(2)由∠B=45°，∠ACB=90°，得AC=BC，设AC=BC=a，∠AFE=∠ACD=θ，tanθ=2，设CF=m，则AF=2m（tanθ=AF/EF=2，EF=CF=m），AC=AF+CF=3m，AB=√2a=3√2m。由切割线定理FE²=FA·FC，得m²=2m·m（矛盾，修正：EF//CD，∠FEC=∠ECD=45°，△FEC等腰直角，EF=FC=m，AF=2m，AC=3m，BC=3m，AB=3√2m。CD为直径，∠CBD=90°，BD=BC=3m，CD=3√2m，半径=3√2m/2。设AM=x，BM=4√2，AB=x+4√2=3√2m，m=(x+4√2)/(3√2)。由相交弦定理AM·BM=CM·MD，CM=AC·cosθ=3m·(1/√5)，MD=CD-CM=3√2m - 3m/√5，代入得x·4√2=(3m/√5)(3√2m - 3m/√5)，解得x=2√2，即AM=2√2。
