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1. 若爬坡时坡面与水平面的夹角为α,则每爬 1 m 耗能$(1.025 - \cosα )$J,若某人爬了 1000 m,该坡角为$30^{\circ }$,则他耗能(参考数据:$\sqrt {3}\approx 1.732,\sqrt {2}\approx 1.414$)(
A.58 J
B.159 J
C.1025 J
D.1732 J
B
)A.58 J
B.159 J
C.1025 J
D.1732 J
答案
1.B
解析
每爬1m耗能为$(1.025 - \cosα)\ \mathrm{J}$，爬了1000m，坡角$α = 30°$。
因为$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} = 0.866$，
所以每爬1m耗能为$1.025 - 0.866 = 0.159\ \mathrm{J}$，
则爬1000m耗能为$0.159 × 1000 = 159\ \mathrm{J}$。
B
因为$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} = 0.866$，
所以每爬1m耗能为$1.025 - 0.866 = 0.159\ \mathrm{J}$，
则爬1000m耗能为$0.159 × 1000 = 159\ \mathrm{J}$。
B
2. 某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把坡角由$37^{\circ }$减至$30^{\circ }$,已知原楼梯长为 5 米,调整后的楼梯会加长(参考数据:$\sin37^{\circ }\approx \frac {3}{5},\cos37^{\circ }\approx \frac {4}{5},\tan37^{\circ }\approx \frac {3}{4}$)(
A.6 米
B.3 米
C.2 米
D.1 米
D
)A.6 米
B.3 米
C.2 米
D.1 米
答案
2.D
解析
设楼梯的高度为$h$米。
在原楼梯中，$\sin37^{\circ}=\frac{h}{5}$，已知$\sin37^{\circ}\approx\frac{3}{5}$，则$h=5×\frac{3}{5}=3$米。
调整后坡角为$30^{\circ}$，设调整后楼梯长为$l$米，$\sin30^{\circ}=\frac{h}{l}$，$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，所以$l=\frac{h}{\sin30^{\circ}}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$米。
调整后的楼梯加长：$6 - 5=1$米。
D
在原楼梯中，$\sin37^{\circ}=\frac{h}{5}$，已知$\sin37^{\circ}\approx\frac{3}{5}$，则$h=5×\frac{3}{5}=3$米。
调整后坡角为$30^{\circ}$，设调整后楼梯长为$l$米，$\sin30^{\circ}=\frac{h}{l}$，$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，所以$l=\frac{h}{\sin30^{\circ}}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$米。
调整后的楼梯加长：$6 - 5=1$米。
D
3. (2024·盐都区二模)如图是某高铁站扶梯的示意图,扶梯 AB 的坡度$i = 5:12$. 李老师乘扶梯从底端 A 以 0.5 m/s 的速度用时 40 s 到达顶端 B,则李老师上升的垂直高度 BC 为
$\frac{100}{13}$
m.答案
3.$\frac{100}{13}$
解析
解：扶梯AB的长度为$0.5×40 = 20\ \mathrm{m}$。
设$BC = 5k\ \mathrm{m}$，$AC = 12k\ \mathrm{m}$（$k＞0$）。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$(5k)^{2}+(12k)^{2}=20^{2}$，
即$25k^{2}+144k^{2}=400$，$169k^{2}=400$，$k^{2}=\frac{400}{169}$，$k = \frac{20}{13}$。
则$BC=5k = 5×\frac{20}{13}=\frac{100}{13}\ \mathrm{m}$。
$\frac{100}{13}$
设$BC = 5k\ \mathrm{m}$，$AC = 12k\ \mathrm{m}$（$k＞0$）。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$(5k)^{2}+(12k)^{2}=20^{2}$，
即$25k^{2}+144k^{2}=400$，$169k^{2}=400$，$k^{2}=\frac{400}{169}$，$k = \frac{20}{13}$。
则$BC=5k = 5×\frac{20}{13}=\frac{100}{13}\ \mathrm{m}$。
$\frac{100}{13}$
4. (2024·姑苏区二模)为了防洪需要,某地决定新建一座拦水坝,如图,拦水坝的横断面为梯形 ABCD,斜面坡度$i = 3:4$是指坡面的铅直高度 AF 与水平宽度 BF 的比. 已知斜坡 CD 的长度为 20 米,$∠C = 18^{\circ }$,求斜坡 AB 的长. (结果精确到 0.1 米,参考数据:$\sin18^{\circ }\approx 0.31,\cos18^{\circ }\approx 0.95,\tan18^{\circ }\approx 0.32$)
答案
4.解:如答图，过点D作DE⊥BC,垂足为E.
由题意，得AF⊥BC,DE = AF;
∵斜面AB的坡度i = 3:4,
∴$\frac{AF}{BF}=\frac{3}{4}$,
∴设AF = 3x米,则BF = 4x米.
在Rt△ABF中,
AB = $\sqrt{AF^{2}+BF^{2}}=\sqrt{(3x)^{2}+(4x)^{2}} = 5x$(米).
在Rt△DEC中,∠C = 18°,CD = 20米,
∴DE = CD·sin18°≈20×0.31 = 6.2(米),
∴AF = DE = 6.2米,
∴3x = 6.2,
解得x = $\frac{31}{15}$,
∴AB = 5x≈10.3米.
答:斜坡AB的长约为10.3米.
5. (2023·南京模拟)如图是大坝的横断面,斜坡 AB 的坡比$i = 1:2$,背水坡 CD 的坡比$i = 1:1$,若坡面 CD 的长度为$6\sqrt {2}$米,则斜坡 AB 的长度为(
A.$4\sqrt {3}$米
B.$6\sqrt {3}$米
C.$6\sqrt {5}$米
D.24 米
C
)A.$4\sqrt {3}$米
B.$6\sqrt {3}$米
C.$6\sqrt {5}$米
D.24 米
答案
5.C
解析
解：过点$B$作$BE⊥ AD$于点$E$，过点$C$作$CF⊥ AD$于点$F$，则$BE=CF$。
在背水坡$CD$中，坡比$i = 1:1$，即$\frac{CF}{FD}=1:1$，设$CF = FD = x$米。
由勾股定理得$CF^{2}+FD^{2}=CD^{2}$，$CD = 6\sqrt{2}$米，
$\therefore x^{2}+x^{2}=(6\sqrt{2})^{2}$，
$2x^{2}=72$，$x^{2}=36$，$x = 6$（米），故$BE=CF = 6$米。
在斜坡$AB$中，坡比$i = 1:2$，即$\frac{BE}{AE}=1:2$，$BE = 6$米，
$\therefore AE=2BE = 12$米。
由勾股定理得$AB=\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{12^{2}+6^{2}}=\sqrt{144 + 36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$米。
答案：C
在背水坡$CD$中，坡比$i = 1:1$，即$\frac{CF}{FD}=1:1$，设$CF = FD = x$米。
由勾股定理得$CF^{2}+FD^{2}=CD^{2}$，$CD = 6\sqrt{2}$米，
$\therefore x^{2}+x^{2}=(6\sqrt{2})^{2}$，
$2x^{2}=72$，$x^{2}=36$，$x = 6$（米），故$BE=CF = 6$米。
在斜坡$AB$中，坡比$i = 1:2$，即$\frac{BE}{AE}=1:2$，$BE = 6$米，
$\therefore AE=2BE = 12$米。
由勾股定理得$AB=\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{12^{2}+6^{2}}=\sqrt{144 + 36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$米。
答案：C
6. 小明想测量一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上,如图,此时测得地面上的影长为 8 米,坡面上的影长为 4 米. 已知斜坡的坡角为$30^{\circ }$,同一时刻,一根长为 1 米,垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米,则树的高度为(
A.$(6 + \sqrt {3})$米
B.12 米
C.$(4 + 2\sqrt {3})$米
D.10 米
A
)A.$(6 + \sqrt {3})$米
B.12 米
C.$(4 + 2\sqrt {3})$米
D.10 米
答案
6.A
解析
解：过斜坡顶端作地面垂线，垂足为点$C$，延长树顶与斜坡顶端连线交地面于点$D$。
斜坡影长$4$米，坡角$30°$，则斜坡的竖直高度$h_1=4\sin30°=2$米，水平投影$x_1=4\cos30°=2\sqrt{3}$米。
标杆高$1$米，影长$2$米，故此时影长是物高的$2$倍。
设树高为$H$，树在地面影长$8$米，斜坡水平投影$2\sqrt{3}$米，设斜坡顶端到点$D$的水平距离为$x$，则$\frac{h_1}{x}=\frac{1}{2}⇒ x=4$米。
树的总影长为$8 + 2\sqrt{3}+4=12 + 2\sqrt{3}$米，故$H=\frac{12 + 2\sqrt{3}}{2}=6+\sqrt{3}$米。
答案：$A$
斜坡影长$4$米，坡角$30°$，则斜坡的竖直高度$h_1=4\sin30°=2$米，水平投影$x_1=4\cos30°=2\sqrt{3}$米。
标杆高$1$米，影长$2$米，故此时影长是物高的$2$倍。
设树高为$H$，树在地面影长$8$米，斜坡水平投影$2\sqrt{3}$米，设斜坡顶端到点$D$的水平距离为$x$，则$\frac{h_1}{x}=\frac{1}{2}⇒ x=4$米。
树的总影长为$8 + 2\sqrt{3}+4=12 + 2\sqrt{3}$米，故$H=\frac{12 + 2\sqrt{3}}{2}=6+\sqrt{3}$米。
答案：$A$
