13.(8分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$AD$平分$\angle BAC$,点$M,N$分别在$AB,AC$边上,$AM=2MB$,
$AN=2NC$.
求证:$DM=DN$.

证明：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。
∵AM=2MB，AN=2NC，
设MB=x，NC=y，则AM=2x，AN=2y，
∴AB=AM+MB=3x，AC=AN+NC=3y。
∵AB=AC，∴3x=3y，即x=y，
∴AM=2x=2y=AN。
在△AMD和△AND中，
$\left\{\begin{array}{l} AM=AN\\ ∠MAD=∠NAD\\ AD=AD\end{array}\right.$
∴△AMD≌△AND（SAS），
∴DM=DN。

14.(8分)如图,已知$\triangle ABC$.
(1)下列操作中,作$\angle ABC$的平分线的正确顺序是(将序号按正确的顺序写在横线上).
①分别以点$M,N$为圆心,以大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,在$\angle ABC$内两弧交于点$P$;
②以点$B$为圆心,以适当长为半径作弧,交$AB$于点$M$,交$BC$于点$N$;
③画射线$BP$,交$AC$于点$D$.
(2)能说明$\angle ABD=\angle CBD$的依据是(填序号).
①$SSS$;②$ASA$;③$AAS$;④角平分线上的点到角两边的距离相等.
(3)若$AB=18$,$BC=12$,$S_{\triangle ABC}=120$,过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$,求$DE$的长.

14. (1) ②①③
(2) ①
(3) 过 $D$ 作 $DF\perp BC$ 于 $F$,
$\because BD$ 为 $\angle ABC$ 的平分线, $DE\perp AB$, $DF\perp BC$,
$\therefore DE = DF$,
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}=\frac{AB× DE}{2}+\frac{BC× DF}{2}=\frac{AB× DE}{2}+\frac{BC× DE}{2}=\frac{18× DE}{2}+\frac{12× DE}{2}=15DE = 120$,
$\therefore DE = 8$。