22.(9分)阅读下列材料:
定义运算:$\min\{a,b\}$,当$a \geqslant b$时,$\min\{a,b\} = b$;当$a < b$时,$\min\{a,b\} = a$.
例如:$\min\{ -1,3\} = -1$,$\min\{ -1, -2\} = -2$.
完成下列任务:
(1)①$\min\{(-3)^0 ,2\} =$
②$\min\{ - \sqrt{14}, -4\} =$
(2)如图,已知反比例函数$y_1 = \frac{k}{x}$和一次函数$y_2 = -2x + b$的图象交于$A$,$B$两点,当$-2 < x < 0$时,
$\min\{ \frac{k}{x}, -2x + b \} = (x + 1)(x - 3) - x^2$.求这两个函数的解析式.

定义运算:$\min\{a,b\}$,当$a \geqslant b$时,$\min\{a,b\} = b$;当$a < b$时,$\min\{a,b\} = a$.
例如:$\min\{ -1,3\} = -1$,$\min\{ -1, -2\} = -2$.
完成下列任务:
(1)①$\min\{(-3)^0 ,2\} =$
1
;②$\min\{ - \sqrt{14}, -4\} =$
-4
.(2)如图,已知反比例函数$y_1 = \frac{k}{x}$和一次函数$y_2 = -2x + b$的图象交于$A$,$B$两点,当$-2 < x < 0$时,
$\min\{ \frac{k}{x}, -2x + b \} = (x + 1)(x - 3) - x^2$.求这两个函数的解析式.
答案
(1)
①$1$
②$-4$
(2)
因为当$-2\lt x\lt0$时,$\min\{\frac{k}{x}, -2x + b\}=(x + 1)(x - 3)-x^{2}$,
先对$(x + 1)(x - 3)-x^{2}$化简:
$(x + 1)(x - 3)-x^{2}=x^{2}-3x+x - 3-x^{2}=-2x - 3$
在$-2\lt x\lt0$这个范围内,$y_1=\frac{k}{x}$的图象在$y_2=-2x + b$图象下方时,$\min\{\frac{k}{x}, -2x + b\}=\frac{k}{x}$,此时$\frac{k}{x}=-2x - 3$,
由图象可知,当$-2\lt x\lt0$时,$\frac{k}{x}=-2x - 3$,把$x = - 2$代入$\frac{k}{x}$和$-2x - 3$:
对于$\frac{k}{x}$,当$x=-2$时,值为$\frac{k}{-2}$;对于$-2x - 3$,当$x = - 2$时,$-2×(-2)-3 = 1$,所以$\frac{k}{-2}=1$,解得$k=-2$。
把$A(-2,1)$代入$y_2=-2x + b$,$1=-2×(-2)+b$,
$1 = 4 + b$,解得$b=-3$。
所以反比例函数解析式为$y_1=-\frac{2}{x}$,一次函数解析式为$y_2=-2x - 3$。
①$1$
②$-4$
(2)
因为当$-2\lt x\lt0$时,$\min\{\frac{k}{x}, -2x + b\}=(x + 1)(x - 3)-x^{2}$,
先对$(x + 1)(x - 3)-x^{2}$化简:
$(x + 1)(x - 3)-x^{2}=x^{2}-3x+x - 3-x^{2}=-2x - 3$
在$-2\lt x\lt0$这个范围内,$y_1=\frac{k}{x}$的图象在$y_2=-2x + b$图象下方时,$\min\{\frac{k}{x}, -2x + b\}=\frac{k}{x}$,此时$\frac{k}{x}=-2x - 3$,
由图象可知,当$-2\lt x\lt0$时,$\frac{k}{x}=-2x - 3$,把$x = - 2$代入$\frac{k}{x}$和$-2x - 3$:
对于$\frac{k}{x}$,当$x=-2$时,值为$\frac{k}{-2}$;对于$-2x - 3$,当$x = - 2$时,$-2×(-2)-3 = 1$,所以$\frac{k}{-2}=1$,解得$k=-2$。
把$A(-2,1)$代入$y_2=-2x + b$,$1=-2×(-2)+b$,
$1 = 4 + b$,解得$b=-3$。
所以反比例函数解析式为$y_1=-\frac{2}{x}$,一次函数解析式为$y_2=-2x - 3$。
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