14.(8分)如图，$P$是等边$\triangle ABC$内的一点，且$PA=5$，$PB=4$，$PC=3$，将$\triangle APB$绕点$B$逆时针旋转，得到$\triangle CQB$.
(1)求点$P$与点$Q$之间的距离；
(2)求$\angle BPC$的度数；
(3)求$\triangle ABC$的面积.

（1）
解：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle ABC = 60^{\circ}$。
由旋转的性质可知$\triangle APB\cong\triangle CQB$，所以$BP = BQ = 4$，$\angle ABP=\angle CBQ$。
那么$\angle PBQ=\angle ABP + \angle PBC=\angle CBQ+\angle PBC=\angle ABC = 60^{\circ}$。
在$\triangle BPQ$中，$BP = BQ = 4$，$\angle PBQ = 60^{\circ}$，根据等边三角形的判定（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），可知$\triangle BPQ$是等边三角形。
所以$PQ = BP = 4$。
（2）
解：
由旋转的性质可知$CQ = AP = 5$。
在$\triangle PQC$中，$PQ = 4$，$PC = 3$，$CQ = 5$。
因为$PQ^{2}+PC^{2}=4^{2}+3^{2}=16 + 9=25$，$CQ^{2}=5^{2}=25$，所以$PQ^{2}+PC^{2}=CQ^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，可知$\angle QPC = 90^{\circ}$。
又因为$\triangle BPQ$是等边三角形，所以$\angle BPQ = 60^{\circ}$。
则$\angle BPC=\angle BPQ+\angle QPC=60^{\circ}+90^{\circ}=150^{\circ}$。
（3）
解：
过点$B$作$BD\perp PC$，交$PC$的延长线于点$D$。
因为$\angle BPC = 150^{\circ}$，所以$\angle BPD = 180^{\circ}-\angle BPC = 30^{\circ}$。
在$Rt\triangle BPD$中，$BP = 4$，根据$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半，可得$BD=\frac{1}{2}BP = 2$，$PD=\sqrt{BP^{2}-BD^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
则$CD=PC + PD=3 + 2\sqrt{3}$。
在$Rt\triangle BCD$中，$BC^{2}=BD^{2}+CD^{2}=2^{2}+(3 + 2\sqrt{3})^{2}=4+9 + 12\sqrt{3}+12=25+12\sqrt{3}$。
所以${S}_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}B{C}^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}(25 + 12\sqrt{3})=\frac{25\sqrt{3}}{4}+9$。
综上，（1）$PQ = 4$；（2）$\angle BPC = 150^{\circ}$；（3）${S}_{\triangle ABC}=\frac{25\sqrt{3}}{4}+9$。