11.(6 分)如图,$OA,OB,OC$是$\odot O$的3 条半径,点$C$是$\overset{\frown} {AC}$的中点,$M,N$分别是$OA,OB$的中点.求证:$MC=NC$.

证明：
如题所述，$OA, OB, OC$ 是 $\odot O$ 的 3 条半径，点 $C$ 是 $\overset{\frown}{AB}$（原题$\overset{\frown} {AC}$应为笔误）的中点，$M, N$ 分别是 $OA, OB$ 的中点。
由于 $C$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点，
根据圆的性质，$\angle AOC = \angle BOC$。
由于 $OA, OB, OC$ 是半径，
所以 $OA = OB$。
由于 $M, N$ 分别是 $OA, OB$ 的中点，
所以 $OM = \frac{1}{2}OA$，$ON = \frac{1}{2}OB$，
因此 $OM = ON$。
在 $\triangle OMC$ 和 $\triangle ONC$ 中，
$OM = ON$，
$\angle AOC = \angle BOC$，
$OC = OC$（公共边）。
根据 $SAS$（边-角-边）全等条件，$\triangle OMC \cong \triangle ONC$。
由于 $\triangle OMC \cong \triangle ONC$，
所以 $MC = NC$。
最终结论：
$MC = NC$。

12.(8 分)已知$\odot O$的直径为10,点$A$、点$B$、点$C$在$\odot O$上,$\angle CAB$的平分线交$\odot O$于点$D$.
(1)如图①,若$BC$为$\odot O$的直径,$AB=6$,求$AC,BD,CD$的长.
(2)如图②,若$\angle CAB=60°$,求$BD$的长.

(1)AC=8，BD=5√2，CD=5√2；(2)BD=5。

(1)∵BC为⊙O直径，∴∠CAB=90°，BC=10。
在Rt△ABC中，AC²+AB²=BC²，AB=6，
∴AC=√(10²-6²)=√64=8。
∵AD平分∠CAB，∠CAB=90°，∴∠CAD=∠BAD=45°。
∵∠CAD=∠CBD=45°，∠BAD=∠BCD=45°，BC为直径，
∴∠BDC=90°，△BDC为等腰直角三角形，
∴BD=CD，BD²+CD²=BC²，2BD²=100，BD=5√2，CD=5√2。
(2)∵AD平分∠CAB，∠CAB=60°，∴∠BAD=30°。
∠BAD为圆周角，所对弧为BD，∴弧BD度数=2∠BAD=60°，
∴圆心角∠BOD=60°。
∵OB=OD=5，∴△BOD为等边三角形，∴BD=OB=5。