23. (11分)如图，$\triangle ABC$和$\triangle ADE$关于直线$MN$对称，$BC$和$DE$的交点$F$在直线$MN$上.
(1)若$ED = 15$，$BF = 9$，求$EF$的长；
(2)若$\angle ABC = 35°$，$\angle AED = 65°$，$\angle BAE = 16°$，求$\angle BFN$的度数；
(3)连接$BD$和$EC$，判断$BD$和$EC$的位置关系，并说明理由.

(1)6；(2)55°；(3)BD//EC，理由见解析。

(1) 解：
∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，
∴BC=ED=15，
∵BF=9，
∴FC=BC-BF=15-9=6，
∵F在MN上，
∴EF=FC=6；
(2) 解：
∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，
∴∠ABC=∠ADE=35°，∠AED=∠ACB=65°，∠BAE=∠CAD=16°，
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-35°-65°=80°，
∴∠BAF=∠BAC-∠CAF=80°-16°=64°，
在△ABF中，∠AFB=180°-∠ABC-∠BAF=180°-35°-64°=81°，
∵∠BFN+∠AFB=180°，
∴∠BFN=180°-81°=99°；
(3) 解：BD//EC，理由如下：
∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BFC=∠ABD+∠BDF=∠ACE+∠CEF，
∴∠BDF=∠CEF，
∴BD//EC.

24. (12分)如图，$OF$是$\angle MON$的平分线，点$A$在射线$OM$上，$P,Q$是直线$ON$上的两动点，点$Q$在点$P$的右侧，且$PQ = OA$，作线段$OQ$的垂直平分线，分别交直线$OF$，$ON$于点$B,C$，连接$AB,PB$.
(1)如图1，请指出$AB$与$PB$的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当$P,Q$两点都在射线$ON$的反向延长线上时，线段$AB,PB$是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由.

(1) AB=PB。理由：过点B作BD⊥OM于D，∵OF平分∠MON，BC⊥ON，∴BD=BC（角平分线性质）。∵BC垂直平分OQ，∴OC=CQ，OQ=2OC，BO=BQ。在Rt△OBD和Rt△OBC中，OB=OB，BD=BC，∴Rt△OBD≌Rt△OBC（HL），∴OD=OC。设OA=PQ=a，OQ=2OC=2x，则OP=OQ-PQ=2x-a。PC=OC-OP=x-(2x-a)=a-x，AD=OA-OD=a-x，∴AD=PC。在Rt△ADB和Rt△PCB中，AD=PC，∠ADB=∠PCB=90°，BD=BC，∴Rt△ADB≌Rt△PCB（SAS），∴AB=PB。
(2) 存在，AB=PB。证明：过点B作BD⊥OM于D，∵OF平分∠MON，BC⊥ON，∴BD=BC（角平分线性质）。∵BC垂直平分OQ，∴OC=CQ，OQ=2OC，BO=BQ。在Rt△OBD和Rt△OBC中，OB=OB，BD=BC，∴Rt△OBD≌Rt△OBC（HL），∴OD=OC。设OA=PQ=a，OQ=2OC=2x，则OP=OQ+PQ=2x+a（Q在P右侧，ON反向延长线）。PC=OP-OC=(2x+a)-x=x+a，AD=OD+OA=x+a，∴AD=PC。在Rt△ADB和Rt△PCB中，AD=PC，∠ADB=∠PCB=90°，BD=BC，∴Rt△ADB≌Rt△PCB（SAS），∴AB=PB。