21.(8分)为了尽快修一条全长11 000米的道路,安排甲、乙两队合作完成任务,最终乙队所修道路长度比甲队所修道路长度的2倍少1 000米.
(1)甲、乙两队各修道路多少米?
(2)若乙队每天比甲队多修20米,最终乙队完成任务所用时间是甲队完成任务所用时间的$\frac{5}{4}$倍,则乙队每天修建道路多少米?

(1)设甲队修道路$x$米，则乙队修道路$(2x - 1000)$米，依题意得：
$x + (2x - 1000) = 11000$
解得$x = 4000$
乙队修道路：$2×4000 - 1000 = 7000$米
(2)设甲队每天修$y$米，则乙队每天修$(y + 20)$米，甲队用时$\frac{4000}{y}$天，乙队用时$\frac{7000}{y + 20}$天，依题意得：
$\frac{7000}{y + 20} = \frac{5}{4}×\frac{4000}{y}$
解得$y = 50$
经检验，$y = 50$是原方程的解，且符合题意
乙队每天修：$50 + 20 = 70$米
(1)甲队修4000米，乙队修7000米；(2)乙队每天修建道路70米。

22.(10分)教育部印发的《义务教育劳动课程标准(2022版)》中指出,劳动课程要以丰富开放的劳动项目为载体,培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质.某中学为了让学生体验农耕劳动,开辟了一处耕种园,现需要采购一批劳动工具开展种植活动.据了解,市场上A型劳动工具的单价比B型劳动工具的单价便宜5元,用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同.
(1)求A,B两种型号的劳动工具的单价各是多少元;
(2)学校计划购买A,B两种型号的劳动工具共100把,若购买支出不超过2 200元,则最多购买B型劳动工具多少把?

(1)设A型劳动工具单价为$x$元，则B型劳动工具单价为$(x + 5)$元。
由题意得$\frac{400}{x}=\frac{500}{x + 5}$，
$400(x + 5)=500x$，
$400x+2000 = 500x$，
$100x=2000$，
解得$x = 20$。
经检验，$x = 20$是原方程的解，且符合题意。
$x + 5=20 + 5=25$（元）。
答：A型劳动工具单价为$20$元，B型劳动工具单价为$25$元。
(2)设购买B型劳动工具$m$把，则购买A型劳动工具$(100 - m)$把。
由题意得$20(100 - m)+25m\leqslant2200$，
$2000-20m + 25m\leqslant2200$，
$2000+5m\leqslant2200$，
$5m\leqslant200$，
解得$m\leqslant40$。
答：最多购买B型劳动工具$40$把。

23.(11分)阅读下面的材料,解答后面的问题：
解方程:$\frac{x - 1}{x}-\frac{4x}{x - 1}=0$.
解:设$y = \frac{x - 1}{x}$,则原方程化为$y-\frac{4}{y}=0$.
方程两边乘$y$,得$y^{2}-4 = 0$.解得$y = \pm2$.
经检验,$y = \pm2$都是方程$y-\frac{4}{y}=0$的解,
$\therefore$当$y = 2$时,$\frac{x - 1}{x}=2$,解得$x = -1$;
当$y = -2$时,$\frac{x - 1}{x}=-2$,解得$x = \frac{1}{3}$.
经检验,$x = -1$或$x = \frac{1}{3}$都是原分式方程的解.
$\therefore$原分式方程的解为$x = -1$或$x = \frac{1}{3}$.
【解决问题】
(1)若方程$\frac{x - 1}{2x}-\frac{x}{x - 1}=0$,设$y = \frac{x - 1}{x}$,则原方程可化为;
(2)模仿上述换元法解方程:$\frac{x - 1}{x + 2}-\frac{9(x + 2)}{x - 1}=0$.

(1) 设 $y = \frac{x - 1}{x}$，则 $\frac{x - 1}{2x} = \frac{1}{2}y$，原方程 $\frac{x - 1}{2x} - \frac{x}{x - 1} = 0$ 可化为：
$\frac{1}{2}y - \frac{1}{y} = 0$
即：
$\frac{y}{2} - \frac{1}{y} = 0$
(2) 设 $y = \frac{x - 1}{x + 2}$，则原方程 $\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{9(x + 2)}{x - 1} = 0$ 化为：
$y - \frac{9}{y} = 0$
方程两边乘 $y$，得：
$y^{2} - 9 = 0$
解得：
$y = \pm 3$
经检验，$y = \pm 3$ 都是 $y - \frac{9}{y} = 0$ 的解。
当 $y = 3$ 时，$\frac{x - 1}{x + 2} = 3$，
$x - 1 = 3(x + 2)$
$x - 1 = 3x + 6$
$-2x = 7$
$x = -\frac{7}{2}$
当 $y = -3$ 时，$\frac{x - 1}{x + 2} = -3$，
$x - 1 = -3(x + 2)$
$x - 1 = -3x - 6$
$4x = -5$
$x = -\frac{5}{4}$
经检验，$x = -\frac{7}{2}$ 和 $x = -\frac{5}{4}$ 都是原分式方程的解。
$\therefore$ 原分式方程的解为 $x = -\frac{7}{2}$ 或 $x = -\frac{5}{4}$。