18. (6分)如图，点$B$，$F$，$C$，$E$在同一条直线上，$AB \perp BE$，垂足为$B$，$DE \perp BE$，垂足为$E$，$AC$，$DF$相交于点$G$，且$AC = DF$，$BF = CE$. 求证：$FG = CG$.

证明：
∵ BF = CE，
∴ BF + FC = CE + FC，即 BC = EF。
∵ AB ⊥ BE，DE ⊥ BE，
∴ ∠B = ∠E = 90°。
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
$\begin{cases} AC = DF \\ BC = EF \end{cases}$
∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）。
∴ ∠ACB = ∠DFE。
在△GFC中，
∵ ∠ACB = ∠DFE，
∴ FG = CG。

19. (8分)如图，在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$AB = AD$，$AC = AE$，$\angle 1 = \angle 2$，$AD$，$BC$相交于点$F$.
(1)求证：$\angle B = \angle D$；
(2)若$AB // DE$，$\angle D = 40^{\circ}$，求$\angle AFB$的度数.

(1) 证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF，即∠BAC=∠DAE。
在△ABC和△ADE中，
AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠B=∠D。
(2) 解：
∵AB//DE，
∴∠D=∠BAD=40°。
由(1)知∠B=∠D=40°。
在△AFB中，∠AFB=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-40°=100°。
即∠AFB的度数为100°。

20. (8分)如图，在$\triangle ABC$中，$O$是边$AB$的中点，$D$是$CO$上的一点，点$E$在$CO$的延长线上，$AE // BD$交$CO$的延长线于点$E$.
(1)求证：$AE = BD$；
(2)若$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle BDO = \angle CAO$，$AC = 6$，求$BD$的长.

(1)证明：
∵O是AB中点，
∴AO=BO。
∵AE//BD，
∴∠E=∠BDO（两直线平行，内错角相等）。
在△AOE和△BOD中，
∠E=∠BDO，
∠AOE=∠BOD（对顶角相等），
AO=BO，
∴△AOE≌△BOD（AAS），
∴AE=BD。
(2)解：
∵∠ACB=90°，O是AB中点，
∴CO=AO=BO（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴∠CAO=∠ACO（等边对等角）。
∵AE//BD，
∴∠BDO=∠E（两直线平行，内错角相等）。
又∠BDO=∠CAO，
∴∠E=∠CAO。
∵∠CAO=∠ACO，
∴∠E=∠ACO。
在△ACE中，∠E=∠ACE（∠ACO=∠ACE），
∴AE=AC（等角对等边）。
∵AC=6，且由(1)知AE=BD，
∴BD=6。
答案：(1)见证明；(2)6。

(1)证明：∵O是AB中点，∴AO=BO。
∵AE//BD，∴∠E=∠BDO（两直线平行，内错角相等）。
在△AOE和△BOD中，
∠E=∠BDO，
∠AOE=∠BOD（对顶角相等），
AO=BO，
∴△AOE≌△BOD（AAS），
∴AE=BD。
(2)解：∵∠ACB=90°，O是AB中点，
∴CO=AO=BO（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴∠CAO=∠ACO（等边对等角）。
∵AE//BD，∴∠BDO=∠E（两直线平行，内错角相等）。
又∠BDO=∠CAO，∴∠E=∠CAO。
∵∠CAO=∠ACO，∴∠E=∠ACO。
在△ACE中，∠E=∠ACE（∠ACO=∠ACE），
∴AE=AC（等角对等边）。
∵AC=6，且由(1)知AE=BD，
∴BD=6。