21. (本题满分10分)

【问题提出】如图，通过拼摆两个含$30^{\circ}$角的全等的三角尺发现，两个三角尺恰好可以拼成一个等边三角形，从而得出猜想：在直角三角形中，若一个锐角为$30^{\circ}$，则它所对的直角边等于斜边的一半。通过实验提出猜想后，如何通过几何推理严格证明该性质？
【思路启迪】从逻辑推理的角度思考：如何通过添加辅助线将含$30^{\circ}$的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，从而将边角关系转化为已知定理？
已知：如图，$Rt \triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$。求证：$BC = \frac{1}{2}AB$。
请在图中添加辅助线，将含$30^{\circ}$的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，要求：用两种不同的方法(后续论证方法不同)在图中添加辅助线，并用简短、专业的数学语言描述如何添加辅助线。

【逻辑论证】在上述方法中选择一种，完成证明。
【触类旁通】完成了命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明后，反过来思考：它的逆命题是否成立呢？
(1) 请补充完整它的逆命题：在直角三角形中，如果，那么；
(2) 请判断该逆命题是否成立，并说明你的理由。

【思路启迪】
|分类|方法一|方法二|
|----|----|----|
|画图及描述|延长BC至点D，使CD=BC，连接AD。|取AB的中点D，连接CD。|
【逻辑论证】（选择方法一）
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD。
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°。
在△ABC和△ADC中，
$\begin{cases} BC=DC \\ ∠ACB=∠ACD \\ AC=AC \end{cases}$，
∴△ABC≌△ADC（SAS）。
∴AD=AB，∠DAC=∠BAC=30°。
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=60°。
∵AD=AB，∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形。
∴AB=BD。
∵BD=BC+CD=2BC，
∴AB=2BC，即$BC=\frac{1}{2}AB$。
【触类旁通】
(1)一条直角边等于斜边的一半；这条直角边所对的锐角等于30°。
(2)成立。
理由：在Rt△ABC中，∠C=90°，设BC=$\frac{1}{2}AB$。取AB中点D，连接CD。
∵∠C=90°，D为AB中点，∴CD=$\frac{1}{2}AB$=AD=BD。
∵BC=$\frac{1}{2}AB$，∴CD=BC。
∵BD=CD，∴△BCD是等边三角形。
∴∠B=60°，∴∠A=90°-60°=30°。