【例题1】根据下列条件求二次函数的解析式。
(1) 函数图象经过点$A(-3, 0)$,$B(1, 0)$,$C(0, -2)$。
(2) 函数图象的顶点是$(2, 4)且经过点(0, 1)$。

思路导引 求二次函数的解析式,关键是看题目所给的条件。一般来说,若给出抛物线上的任意三个点的坐标,则可设一般式去求解；若给出顶点(或对称轴或最值)及另一个点,则用顶点式求解较为简单；若给出抛物线与$x$轴的两个交点坐标,则用交点式求解较为快捷。
解：(1) 设$y = ax^2 + bx + c$。
∵函数图象经过点$A(-3, 0)$,$B(1, 0)$,$C(0, -2)$,
则有$\begin{cases}0 = (-3)^2a + (-3)b + c, \\ 0 = a + b + c, \\ -2 = c.\end{cases} $
解得$\begin{cases}a = \frac{2}{3}, \\ b = \frac{4}{3}, \\ c = -2.\end{cases} $
∴$y = \frac{2}{3}x^2 + \frac{4}{3}x - 2$。
(2) ∵顶点是$(2, 4)$,∴设二次函数的解析式为$y = a(x - 2)^2 + 4$。又函数图象经过点$(0, 1)$,代入解析式,得$a = -\frac{3}{4}$。
∴$y = -\frac{3}{4}(x - 2)^2 + 4$。

【例题2】已知函数$y = x^2 - 2x - 3$,完成下列各题。
(1) 把它写成$y = a(x + m)^2 + k$的形式,并说明它是由什么样的函数图象经过怎样平移得到的。
(2) 写出函数图象的对称轴、顶点、开口方向和最小值。
(3) 求出函数图象与$x$轴的交点坐标。
(4) 画出函数图象的草图。
(5) 设图象交$x轴于A$,$B$两点,交$y轴于点P$,求$\triangle APB$的面积。
(6) 根据图象草图,说出当$x$取哪些值时,①$y = 0$；②$y ＜ 0$；③$y ＞ 0$。

思路导引 (1) 解答函数和几何的综合题时要充分利用图象,做到线段和坐标的互相转化。
(2) 判定函数值何时为正,何时为负,同样也要充分利用图象,要使$y ＜ 0$,其对应的图象应在$x$轴的下方,自变量$x$就有相应的取值范围。
解：(1)$y = (x - 1)^2 - 4$,它是由$y = x^2$向右平移1个单位长度,再向下平移4个单位长度得到的。
(2) 对称轴为$x = 1$,顶点为$(1, -4)$,开口向上,最小值为$-4$。
(3) 当$y = 0$时,得方程$(x - 1)^2 - 4 = 0$,解得$x_1 = -1$,$x_2 = 3$。所以函数图象与$x轴的交点坐标为(-1, 0)$,$(3, 0)$。
(4) 如图所示

(5) $\triangle APB$的面积是6。
(6) ①当$x = -1或3$时,$y = 0$；②当$-1 ＜ x ＜ 3$时,$y ＜ 0$；③当$x ＞ 3或x ＜ -1$时,$y ＞ 0$。

1. 如果二次函数$y = (a + 2)x^2 + x + a^2 - 4$的图象经过原点,那么$a = $ ()。
A.2
B.-2
C.$\pm 2$
D.$\sqrt{2}$

【解析】：
题目给出二次函数$y = (a + 2)x^2 + x + a^2 - 4$，并说明其图像经过原点。
根据二次函数的性质，当$x=0$时，$y$的值应该等于函数在$y$轴上的截距。
由于图像经过原点，所以当$x=0$时，$y=0$。
将$x=0$，$y=0$代入原函数，得到：
$0 = (a + 2) \cdot 0^2 + 0 + a^2 - 4$，
化简后得到：
$a^2 - 4 = 0$，
解这个方程，得到$a = \pm 2$。
但是，由于二次函数的二次项系数$a + 2$不能为0（否则就不是二次函数了），
所以$a$不能等于$-2$。
因此，$a$只能等于2。
【答案】：
A.2。

2. 已知二次函数的顶点坐标为$A(1, 9)$,且其图象经过点$(-1, 5)$,则此二次函数的解析式为。

【解析】：
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式。
设二次函数的解析式为顶点式$y = a(x - h)^{2} + k$，其中$(h, k)$是函数的顶点坐标。
根据题目给出的顶点坐标$A(1, 9)$，可以确定$h = 1$且$k = 9$，所以函数可以表示为$y = a(x - 1)^{2} + 9$。
接下来，我们使用给定的点$(-1, 5)$来确定系数$a$。
将点$(-1, 5)$代入上述函数式，得到：
$5 = a(-1 - 1)^{2} + 9$
$5 = 4a + 9$
解这个方程，我们得到$a = -1$。
因此，此二次函数的解析式为$y = - (x - 1)^{2} + 9$。
进一步展开，得到$y = - x^{2} + 2x + 8$。
【答案】：
$y = - x^{2} + 2x + 8$

3. 已知二次函数$y = ax^2 + bx + c的图象经过A(0, -5)$,$B(5, 0)$两点,它的对称轴是$x = 2$,那么这个二次函数的解析式是______。

解：因为二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象经过$A(0, -5)$，所以将$x=0$，$y=-5$代入解析式得$c = -5$。
因为对称轴是$x = 2$，所以$-\frac{b}{2a}=2$，即$b=-4a$。
又因为函数图象经过$B(5, 0)$，所以将$x=5$，$y=0$，$c=-5$，$b=-4a$代入解析式得：
$0 = a×5^2 + (-4a)×5 + (-5)$
$0 = 25a - 20a - 5$
$5a - 5 = 0$
$5a = 5$
$a = 1$
则$b = -4a = -4×1 = -4$
所以二次函数的解析式是$y = x^2 - 4x - 5$。
答案：$y = x^2 - 4x - 5$

4. 已知二次函数的图象与$x轴的交点是(2, 0)$,$(-1, 0)$,与$y轴的交点是(0, -1)$,那么这个二次函数的解析式是______。

解：设二次函数的解析式为$y=a(x - 2)(x + 1)$（$a\neq0$）。
因为函数图象与$y$轴交于点$(0, -1)$，将$x=0$，$y=-1$代入解析式得：
$-1=a(0 - 2)(0 + 1)$
即$-1=a×(-2)×1$
$-1=-2a$
解得$a=\frac{1}{2}$
所以二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}(x - 2)(x + 1)$，展开得$y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x - 1$
故答案为$y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x - 1$