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拓展提升
如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$\angle ABC= 30^{\circ}$,令$AC= 1$,则$AB= 2$.在此图的基础上,请添加适当的辅助线求出$\tan15^{\circ}$的值.
如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$\angle ABC= 30^{\circ}$,令$AC= 1$,则$AB= 2$.在此图的基础上,请添加适当的辅助线求出$\tan15^{\circ}$的值.
答案
1. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，$\angle ABC=30°$，$AC=1$，$AB=2$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
2. 延长$CB$至点$D$，使$BD=AB=2$，连接$AD$。
3. 因为$BD=AB$，所以$\angle D=\angle BAD$。
4. 由三角形外角性质，$\angle ABC=\angle D+\angle BAD=2\angle D$，则$\angle D=\frac{1}{2}\angle ABC=15°$。
5. $CD=BC+BD=\sqrt{3}+2$。
6. 在$Rt\triangle ACD$中，$\angle C=90°$，$\angle D=15°$，$AC=1$，所以$\tan15°=\tan\angle D=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=2-\sqrt{3}$。
结论：$\tan15°=2-\sqrt{3}$。
2. 延长$CB$至点$D$，使$BD=AB=2$，连接$AD$。
3. 因为$BD=AB$，所以$\angle D=\angle BAD$。
4. 由三角形外角性质，$\angle ABC=\angle D+\angle BAD=2\angle D$，则$\angle D=\frac{1}{2}\angle ABC=15°$。
5. $CD=BC+BD=\sqrt{3}+2$。
6. 在$Rt\triangle ACD$中，$\angle C=90°$，$\angle D=15°$，$AC=1$，所以$\tan15°=\tan\angle D=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=2-\sqrt{3}$。
结论：$\tan15°=2-\sqrt{3}$。
