11. 在半径为 4 的圆中,$120°$的圆心角所对的弧长是.

$\frac{8\pi}{3}$（此处按照题目要求应只填答案形式，若为填空题直接写答案，本题按要求以该形式呈现）

本题可根据弧长公式$l = \frac{n\pi r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）来计算。
已知圆的半径$r = 4$，圆心角$n = 120^{\circ}$，将其代入弧长公式可得：
$l=\frac{120×\pi×4}{180}=\frac{8\pi}{3}$

12. 如图,AB 是$\odot O$的直径,PA,PC 分别与$\odot O$相切于 A,C 两点.若$\angle P= 60°$,$PA= \sqrt{3}$,则 AB 的长为.

2

连接OP。
∵PA、PC是⊙O的切线，
∴PA=PC，OA⊥PA，∠APO=∠CPO=1/2∠P=30°。
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠APO=30°，PA=√3，
∴tan∠APO=OA/PA，即tan30°=OA/√3，
∴OA=√3×(√3/3)=1。
∵AB是直径，
∴AB=2OA=2。

13. 已知$\triangle ABC$的周长为 26,$\odot O是\triangle ABC$的内切圆.若$\odot O$的半径为 2,则$\triangle ABC$的面积为.

26

设$\triangle ABC$的内切圆$\odot O$与三边分别相切于点$D,E,F$，连接$OA,OB,OC,OD,OE,OF$，因为$OD\perp AB$，$OE\perp BC$，$OF\perp AC$，且$OD = OE=OF = 2$。
将$\triangle ABC$分割为$\triangle AOB$、$\triangle BOC$、$\triangle AOC$，那么${S}_{\triangle ABC}={S}_{\triangle AOB}+{S}_{\triangle BOC}+{S}_{\triangle AOC}$，而${S}_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}× AB× OD$，${S}_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}× BC× OE$，${S}_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}× AC× OF$，所以${S}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×(AB + BC+AC)× 2$，又因为$\triangle ABC$的周长$AB + BC + AC=26$，则${S}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×26× 2 = 26$。

14. 如图,$\odot O是\triangle ABC$的外接圆,$OD\perp AB$于点 E.若$\odot O的半径为\sqrt{2}$,$\angle ACB= 45°$,则 OE 的长为.

1

连接OA、OB。∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=90°（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。∵OA=OB=√2（半径），OD⊥AB，∴OE为等腰Rt△AOB斜边上的高。在Rt△AOB中，AB=√(OA²+OB²)=√[(√2)²+(√2)²]=2。由面积法：S△AOB=1/2×OA×OB=1/2×AB×OE，即1/2×√2×√2=1/2×2×OE，解得OE=1。

15. 如图,$\odot O分别切\angle BAC$的两边 AB,AC 于点 E,F,点 P 在优弧 EDF 上.若$\angle BAC= 66°$,则$\angle EPF$的度数为______.

$57^{\circ}$（题目是填空题，若按选项理解，本题无选项，若非要按要求填则本题无法对应，所以按题目实际填写角度值对应的规范这里直接给出角度答案相关表述，若理解为类似有选项情况，本题答案对应求角度数结果）

连接$OE$，$OF$，因为$\odot O$分别切$\angle BAC$的两边$AB$，$AC$于点$E$，$F$，所以$OE\perp AB$，$OF\perp AC$。
已知$\angle BAC = 66^{\circ}$，在四边形$AEOF$中，$\angle AEO = \angle AFO = 90^{\circ}$，根据四边形内角和为$360^{\circ}$，可得$\angle EOF = 360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-66^{\circ}=114^{\circ}$。
因为$\angle EPF$和$\angle EOF$分别是同弧所对的圆周角和圆心角，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以$\angle EPF=\frac{1}{2}\angle EOF = 57^{\circ}$。

16. 如图,$\odot O$是正五边形 ABCDE 的外接圆,P 是$\widehat{AE}$上的一点,则$\angle CPD$的度数为______.

$36^{\circ}$的度数对应选项（由于题目未给选项，若按常规填空理解，答案写数值）本题按要求应填数值相关，若在选择题中需根据选项对应，这里按数值$36^{\circ}$本质回答，若题目是填空题形式答案就为$36^{\circ}$相关数值，若为选择则选对应$36^{\circ}$的选项，本题按要求直接给出数值答案的呈现形式为：$36$ （若题目选项是以数值形式出现则选对应$36$的选项）

连接$OC,OD$，因为$ABCDE$为正五边形，
所以$\angle COD =72^{\circ}$（正$n$边形的中心角为$\frac{360^{\circ}}{n}$，这里$n = 5$）。
根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，$\angle CPD=\frac{1}{2}\angle COD = 36^{\circ}$。

17. 如图,在$\triangle ABC$中,$CA= CB= 2$,$\angle ACB= 90°$.以 AB 的中点 D 为圆心,作圆心角为$90°$的扇形 DEF,点 C 恰好在弧 EF 上,则图中阴影部分的面积是.(结果保留π)

$\frac{\pi}{2}-1$的书写形式（即$\frac{1}{2}\pi -1$，按照题目要求保留$\pi$）。

连接$CD$，
由于$CA=CB$，$\angle ACB=90°$，D是$AB$的中点。
根据等腰直角三角形的性质，$CD\perp AB$，且$CD=AD=BD$，$\angle ADC=\angle BDC=90°$，$\angle ACD=\angle BCD=45°$，
由于$\angle EDF=90°$，
所以$\angle ADC=\angle EDF$，
则$\angle ADC-\angle CDF=\angle EDF-\angle CDF$，
即$\angle ADE=\angle CDF$，
在$\triangle ADE$和$\triangle CDF$中，
$\angle ADE=\angle CDF$，$AD=CD$，$\angle ACD=\angle BCD=\angle DAE=45°$，
根据三角形全等判定（ASA），可得$\triangle ADE\cong\triangle CDF$，
所以$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle CDF}$，
则$S_{阴影}=S_{扇形CDF}=S_{扇形DEF}-S_{\triangle CDF}+S_{\triangle ADE}-S_{\triangle BCF中非阴影部分（即与\triangle ADE全等替换后的部分）}$，
由于$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle CDF}$，
所以$S_{阴影}=S_{扇形DEF}-S_{\triangle BCD}$，
因为$CA=CB=2$，
所以$AB=\sqrt{CA^2+CB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
则$BD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$，
$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BD× CD=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$，
$S_{扇形DEF}=\frac{90}{360}×\pi×(\sqrt{2})^2=\frac{1}{4}×\pi×2=\frac{\pi}{2}$，
所以$S_{阴影}=\frac{\pi}{2}-1$。

18. 在半径为 5 的圆中,有两条弦的长分别为 6 和 8.设这两条弦的中点间的距离为 d,则 d 的取值范围是.

$1 \leq d \leq 7$

设圆的半径为$R=5$，弦长为6的弦中点为$A$，弦长为8的弦中点为$B$。
由垂径定理，弦中点与圆心的连线垂直于弦，且弦长一半、圆心到弦中点距离、半径构成直角三角形。
对于弦长6：其一半为$3$，则$OA=\sqrt{R^2 - 3^2}=\sqrt{25 - 9}=4$；
对于弦长8：其一半为$4$，则$OB=\sqrt{R^2 - 4^2}=\sqrt{25 - 16}=3$。
$A$、$B$到圆心$O$的距离分别为$4$和$3$，则$A$、$B$间距离$d$满足：
当$A$、$B$、$O$共线且同侧时，$d_{min}=|OA - OB|=|4 - 3|=1$；
当$A$、$B$、$O$共线且异侧时，$d_{max}=OA + OB=4 + 3=7$。
由三角形三边关系，$d$的取值范围为$1 \leq d \leq 7$。