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23. (本小题 12 分)【基础巩固】
(1) 如图①,在△ABC 中,D 为 AB 上一点,∠ACD= ∠B.求证:$AC^{2}= AD\cdot AB$.
【尝试应用】
(2) 如图②,在□ABCD 中,E 为 BC 上一点,F 为 CD 的延长线上一点,∠BFE= ∠A.若 BF= 4,BE= 3,求 AD 的长.
【拓展提高】
(3) 如图③,在菱形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,F 是△ABC 内一点,EF//AC,AC= 2EF,∠EDF= $\frac{1}{2}∠BAD$,AE= 2,DF= 5,求菱形 ABCD 的边长.
(1) 如图①,在△ABC 中,D 为 AB 上一点,∠ACD= ∠B.求证:$AC^{2}= AD\cdot AB$.
【尝试应用】
(2) 如图②,在□ABCD 中,E 为 BC 上一点,F 为 CD 的延长线上一点,∠BFE= ∠A.若 BF= 4,BE= 3,求 AD 的长.
【拓展提高】
(3) 如图③,在菱形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,F 是△ABC 内一点,EF//AC,AC= 2EF,∠EDF= $\frac{1}{2}∠BAD$,AE= 2,DF= 5,求菱形 ABCD 的边长.
答案
(1) 证明见解析；(2) 16/3；(3) 10。
解析
(1) ∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴AC/AB=AD/AC，∴AC²=AD·AB。
(2) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC。∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C。又∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴BF/BC=BE/BF，∴BF²=BE·BC。∵BF=4，BE=3，∴4²=3·BC，∴BC=16/3，∴AD=16/3。
(3) 设菱形ABCD边长为x，∠BAD=2α，则∠EDF=α，AC=2EF，设EF=a，AC=2a。过F作FM//AB交AC于M，∵EF//AC，∴四边形AEFM是平行四边形，∴AM=EF=a，FM=AE=2，M为AC中点。连接DM，∵AD=CD，M为AC中点，∴DM⊥AC，DM²=CD² - CM²=x² - a²。由△BEH∽△BAO（H为EF与BD交点），得EH=(x-2)a/x，FH=2a/x，DH=b(x+2)/x（b为BO）。在Rt△DHF中，DH² + FH²=DF²，结合a² + b²=x²，解得x=10。
(2) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC。∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C。又∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴BF/BC=BE/BF，∴BF²=BE·BC。∵BF=4，BE=3，∴4²=3·BC，∴BC=16/3，∴AD=16/3。
(3) 设菱形ABCD边长为x，∠BAD=2α，则∠EDF=α，AC=2EF，设EF=a，AC=2a。过F作FM//AB交AC于M，∵EF//AC，∴四边形AEFM是平行四边形，∴AM=EF=a，FM=AE=2，M为AC中点。连接DM，∵AD=CD，M为AC中点，∴DM⊥AC，DM²=CD² - CM²=x² - a²。由△BEH∽△BAO（H为EF与BD交点），得EH=(x-2)a/x，FH=2a/x，DH=b(x+2)/x（b为BO）。在Rt△DHF中，DH² + FH²=DF²，结合a² + b²=x²，解得x=10。
