25. (本小题 13 分)在平面直角坐标系中,已知二次函数$ y= (x-t)^{2}-1 $的图象交 y 轴于点 P.
(1) 若将点 P 向右平移 4 个单位长度,再次落在该函数的图象上,则 t 的值为;
(2) 在(1)的条件下,若点$(m,y_{1})$,$(m+3,y_{2})$均在该函数的图象上,且$y_{1}＜y_{2}$,求 m 的取值范围;
(3) 当$1\leq x\leq3$时,这个二次函数的最小值为 3,求 t 的值.

(1)
当$x = 0$时，$y=(0 - t)^{2}-1=t^{2}-1$，所以点$P$坐标为$(0,t^{2}-1)$。
点$P(0,t^{2}-1)$向右平移$4$个单位长度后坐标为$(4,t^{2}-1)$。
把$(4,t^{2}-1)$代入$y=(x - t)^{2}-1$得：$t^{2}-1=(4 - t)^{2}-1$。
展开$(4 - t)^{2}-1$得$16-8t+t^{2}-1$。
则$t^{2}-1=t^{2}-8t + 15$，
$8t=16$，
解得$t = 2$。
(2)
由(1)知$t = 2$，所以二次函数为$y=(x - 2)^{2}-1$，其对称轴为$x = 2$。
点$(m,y_{1})$，$(m + 3,y_{2})$，两点距离对称轴的距离分别为$\vert m - 2\vert$，$\vert m+3 - 2\vert=\vert m + 1\vert$。
因为$y_{1}\lt y_{2}$，所以$\vert m - 2\vert\lt\vert m + 1\vert$。
两边平方得：$(m - 2)^{2}\lt(m + 1)^{2}$。
展开：$m^{2}-4m + 4\lt m^{2}+2m+1$。
移项得：$-4m-2m\lt1 - 4$。
$-6m\lt - 3$，
解得$m\gt\frac{1}{2}$。
(3)
二次函数$y=(x - t)^{2}-1$，对称轴为$x = t$。
①当$t\lt1$时，在$1\leq x\leq3$上，$y$随$x$增大而增大，则当$x = 1$时，$y$有最小值$3$。
把$(1,3)$代入$y=(x - t)^{2}-1$得：$(1 - t)^{2}-1 = 3$。
$(1 - t)^{2}=4$，
$1-t=\pm2$。
$1-t = 2$，$t=-1$；$1-t=-2$，$t = 3$（舍去）。
②当$1\leq t\leq3$时，当$x = t$时，$y$有最小值$-1\neq3$，舍去。
③当$t\gt3$时，在$1\leq x\leq3$上，$y$随$x$增大而减小，则当$x = 3$时，$y$有最小值$3$。
把$(3,3)$代入$y=(x - t)^{2}-1$得：$(3 - t)^{2}-1 = 3$。
$(3 - t)^{2}=4$，
$3-t=\pm2$。
$3-t = 2$，$t = 1$（舍去）；$3-t=-2$，$t = 5$。
综上，$t$的值为$-1$或$5$。