4. 把抛物线 $ y= (x-1)^2+2 $ 先向左平移 2 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度,所得抛物线的解析式为.

$y=(x + 1)^2 - 1$

抛物线$y=(x - 1)^2 + 2$的顶点坐标为$(1,2)$。向左平移2个单位长度，顶点横坐标变为$1 - 2=-1$；再向下平移3个单位长度，顶点纵坐标变为$2 - 3=-1$。所得抛物线的顶点坐标为$(-1,-1)$，解析式为$y=(x + 1)^2 - 1$。

5. 已知点 $ A(m-1,y_1),B(m,y_2) $ 都在二次函数 $ y= (x-1)^2+n $ 的图象上.若 $ y_1＜y_2 $,则 $ m $ 的取值范围是.

$ m ＞ \frac{3}{2} $（或 $ m＞\frac{3}{2}$ 的等价形式）

已知点 $ A(m-1, y_1) $ 和 $ B(m, y_2) $ 在二次函数 $ y = (x-1)^2 + n $ 的图象上，
则 $ y_1 = (m-1-1)^2 + n = (m-2)^2 + n $，
$ y_2 = (m-1)^2 + n $。
由 $ y_1 ＜ y_2 $，得：
$ (m-2)^2 + n ＜ (m-1)^2 + n $，
化简为：
$ (m-2)^2 ＜ (m-1)^2 $，
展开得：
$ m^2 - 4m + 4 ＜ m^2 - 2m + 1 $，
消去 $ m^2 $ 后：
$ -4m + 4 ＜ -2m + 1 $，
移项得：
$ -2m ＜ -3 $，
解得：
$ m ＞ \frac{3}{2} $。

6. 将抛物线 $ y= (x+3)^2 $ 向下平移 1 个单位长度,再向右平移 $ h(h＞0) $ 个单位长度后,得到的新抛物线经过原点.求 $ h $ 的值.

$h$ 的值为 $4$ 或 $2$。

答题步骤：
原抛物线为 $y = (x + 3)^2$。
向下平移 1 个单位长度后，抛物线变为 $y = (x + 3)^2 - 1$。
再向右平移 $h$ 个单位长度后，抛物线变为 $y = (x + 3 - h)^2 - 1$。
新抛物线经过原点，即当 $x = 0, y = 0$ 时，代入得：
$0 = (0 + 3 - h)^2 - 1$，
$0 = (3 - h)^2 - 1$，
$(3 - h)^2 = 1$，
$3 - h = \pm 1$。
解得 $h = 3 \pm 1$，即 $h = 4$ 或 $h = 2$。
由于 $h ＞ 0$，两个解都符合条件。
最终

7. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,抛物线 $ y= 3(x-2)^2-4 $ 的顶点为 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $.
(1) 当 $ x $ 为何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小?
(2) 求 $ \triangle OAB $ 的面积.

(1)
对于抛物线$y = 3(x - 2)^2 - 4$，因为$a = 3\gt0$，抛物线开口向上，对称轴为$x = h = 2$。
根据二次函数性质，当抛物线开口向上时，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小。
所以当$x\lt2$时，$y$随$x$的增大而减小。
(2)
对于抛物线$y = 3(x - 2)^2 - 4$，其顶点$A$的坐标为$(2,-4)$。
当$x = 0$时，$y=3×(0 - 2)^2-4=3×4 - 4 = 8$，所以点$B$的坐标为$(0,8)$。
$\triangle OAB$中，$OB$边上的高为点$A$横坐标的绝对值$2$，$OB$的长度为点$B$纵坐标的绝对值$8$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}× OB×|x_A|=\frac{1}{2}×8×2 = 8$。
综上，答案为：(1)当$x\lt2$时，$y$随$x$的增大而减小；(2)$8$。