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16. 若关于 x 的分式方程$\frac{2}{x+1}-\frac{k}{x+1}= 1$的解是负数,则 k 的取值范围是
$k ＞ 1$且$k ≠ 2$
.答案
$k ＞ 1$且$k ≠ 2$
解析
方程两边同乘$(x + 1)$，得$2 - k = x + 1$，解得$x = 1 - k$。
因为方程的解是负数，所以$1 - k ＜ 0$，解得$k ＞ 1$。
又因为分母不能为$0$，即$x + 1 ≠ 0$，所以$1 - k + 1 ≠ 0$，解得$k ≠ 2$。
综上，$k$的取值范围是$k ＞ 1$且$k ≠ 2$。
因为方程的解是负数，所以$1 - k ＜ 0$，解得$k ＞ 1$。
又因为分母不能为$0$，即$x + 1 ≠ 0$，所以$1 - k + 1 ≠ 0$，解得$k ≠ 2$。
综上，$k$的取值范围是$k ＞ 1$且$k ≠ 2$。
17. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠B= 45^{\circ}$,$AB＞AC$,分别以点 B 和点 C 为圆心,大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧,两弧相交于 M,N 两点,作直线 MN 交 AB 于点 D.若$AD= 2$,$BC= 8$,则 AC 的长为______
6
.答案
6
解析
连接CD，设AC=x，BD=CD=y。
∵MN是BC的垂直平分线，
∴BD=CD=y，
∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠B=45°，
∴∠BDC=90°，
∵AD=2，
∴AB=AD+BD=2+y，
在Rt△BDC中，BD²+CD²=BC²，
即y²+y²=8²，
解得y=4√2（负值舍去），
∴AB=2+4√2，
在△ABC中，由余弦定理得AC²=AB²+BC²-2·AB·BC·cosB，
即x²=(2+4√2)²+8²-2·(2+4√2)·8·√2/2，
展开得x²=4+16√2+32+64-16√2-64，
化简得x²=36，
解得x=6（负值舍去），
∴AC=6。
∵MN是BC的垂直平分线，
∴BD=CD=y，
∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠B=45°，
∴∠BDC=90°，
∵AD=2，
∴AB=AD+BD=2+y，
在Rt△BDC中，BD²+CD²=BC²，
即y²+y²=8²，
解得y=4√2（负值舍去），
∴AB=2+4√2，
在△ABC中，由余弦定理得AC²=AB²+BC²-2·AB·BC·cosB，
即x²=(2+4√2)²+8²-2·(2+4√2)·8·√2/2，
展开得x²=4+16√2+32+64-16√2-64，
化简得x²=36，
解得x=6（负值舍去），
∴AC=6。
18. 如图,在凸四边形 ABCD 中,$AB= AC$,$∠BAC= 90^{\circ}$.若$AD= 3\sqrt{2}$,$CD= 4$,则对角线 BD 的最大值为______
10
.答案
10
解析
以点$A$为坐标原点，$AB$所在直线为$x$轴，$AC$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系。设$AB = AC = a$，则$B(a, 0)$，$C(0, a)$。
设$D(x, y)$，已知$AD = 3\sqrt{2}$，$CD = 4$，则：
$\begin{cases}x^2 + y^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18 \\x^2 + (y - a)^2 = 4^2 = 16\end{cases}$
两式相减得：$x^2 + (y - a)^2 - (x^2 + y^2) = 16 - 18$，即$-2ay + a^2 = -2$，整理得$2ay = a^2 + 2$，$y = \frac{a^2 + 2}{2a}$。
$BD$的距离为$\sqrt{(x - a)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 - 2ax + a^2 + y^2} = \sqrt{(x^2 + y^2) - 2ax + a^2} = \sqrt{18 - 2ax + a^2}$。
要使$BD$最大，需使$-2ax$最大，即$x$最小。由$x^2 = 18 - y^2 = 18 - (\frac{a^2 + 2}{2a})^2$，当$a = \sqrt{2}$时，$x$最小为$-4$，此时$BD = \sqrt{18 - 2×(-4)×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} = 10$。
10
设$D(x, y)$，已知$AD = 3\sqrt{2}$，$CD = 4$，则：
$\begin{cases}x^2 + y^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18 \\x^2 + (y - a)^2 = 4^2 = 16\end{cases}$
两式相减得：$x^2 + (y - a)^2 - (x^2 + y^2) = 16 - 18$，即$-2ay + a^2 = -2$，整理得$2ay = a^2 + 2$，$y = \frac{a^2 + 2}{2a}$。
$BD$的距离为$\sqrt{(x - a)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 - 2ax + a^2 + y^2} = \sqrt{(x^2 + y^2) - 2ax + a^2} = \sqrt{18 - 2ax + a^2}$。
要使$BD$最大，需使$-2ax$最大，即$x$最小。由$x^2 = 18 - y^2 = 18 - (\frac{a^2 + 2}{2a})^2$，当$a = \sqrt{2}$时，$x$最小为$-4$，此时$BD = \sqrt{18 - 2×(-4)×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} = 10$。
10
19. (本小题 12 分)计算:
(1)$\sqrt{18}-\sqrt{12}×\sqrt{\frac{2}{3}}$;
(2)$(a+b)^{2}+a(a-2b)$.
(1)$\sqrt{18}-\sqrt{12}×\sqrt{\frac{2}{3}}$;
(2)$(a+b)^{2}+a(a-2b)$.
答案
(1) $\sqrt{18}-\sqrt{12}×\sqrt{\frac{2}{3}}$
$=3\sqrt{2}-\sqrt{12×\frac{2}{3}}$
$=3\sqrt{2}-\sqrt{8}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}$
$=\sqrt{2}$
(2) $(a+b)^{2}+a(a-2b)$
$=a^{2}+2ab+b^{2}+a^{2}-2ab$
$=2a^{2}+b^{2}$
$=3\sqrt{2}-\sqrt{12×\frac{2}{3}}$
$=3\sqrt{2}-\sqrt{8}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}$
$=\sqrt{2}$
(2) $(a+b)^{2}+a(a-2b)$
$=a^{2}+2ab+b^{2}+a^{2}-2ab$
$=2a^{2}+b^{2}$
20. (本小题 8 分)先化简,再求值:$(1-\frac{2}{x+1})÷\frac{x^{2}-2x+1}{x+1}$,其中$x= \sqrt{2}+1$.
答案
首先，对原式进行化简。
原式$= (1 - \frac{2}{x + 1}) ÷ \frac{x^2 - 2x + 1}{x + 1}$
$= \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} ÷ \frac{(x - 1)^2}{x + 1}$
$= \frac{x - 1}{x + 1} × \frac{x + 1}{(x - 1)^2}$
$= \frac{1}{x - 1}$
然后，将$x = \sqrt{2} + 1$代入化简后的式子。
当$x = \sqrt{2} + 1$时，
原式$= \frac{1}{\sqrt{2} + 1 - 1}$
$= \frac{1}{\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{2}}{2}$
原式$= (1 - \frac{2}{x + 1}) ÷ \frac{x^2 - 2x + 1}{x + 1}$
$= \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} ÷ \frac{(x - 1)^2}{x + 1}$
$= \frac{x - 1}{x + 1} × \frac{x + 1}{(x - 1)^2}$
$= \frac{1}{x - 1}$
然后，将$x = \sqrt{2} + 1$代入化简后的式子。
当$x = \sqrt{2} + 1$时，
原式$= \frac{1}{\sqrt{2} + 1 - 1}$
$= \frac{1}{\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{2}}{2}$
