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21. (本小题 6 分)定义:对于一个两位数 x,它的个位数字与十位数字不相同,且都不为零.先将其个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数,再将这个新两位数与原两位数求和后除以 11 所得的商记为 S(x).例如,x= 13,对调个位数字与十位数字得到的新两位数为 31,因为$\frac{13+31}{11}= 4$,所以 S(13)= 4.
(1) 计算:S(27)=
(2) 若两位数 x 的十位数字是 m,个位数字是 n,试用含 m,n 的代数式表示 S(x),并说明理由.
(1) 计算:S(27)=
9
;(2) 若两位数 x 的十位数字是 m,个位数字是 n,试用含 m,n 的代数式表示 S(x),并说明理由.
S(x)=m + n。理由如下：原两位数为10m+n，对调后新两位数为10n+m，两数之和为10m+n+10n+m=11m+11n=11(m+n)，所以S(x)=(11(m+n))÷11=m+n。
答案
(1) $ 9 $；(2) $ m + n $。
解析
(1) 对于 $ x = 27 $，对调个位数字与十位数字得到新两位数 $ 72 $。
$ S(27) = \frac{27 + 72}{11} = \frac{99}{11} = 9 $。
(2) 两位数 $ x $ 的十位数字是 $ m $，个位数字是 $ n $，则原两位数为 $ 10m + n $，对调后新两位数为 $ 10n + m $。
$ S(x) = \frac{(10m + n) + (10n + m)}{11} = \frac{11m + 11n}{11} = m + n $。
$ S(27) = \frac{27 + 72}{11} = \frac{99}{11} = 9 $。
(2) 两位数 $ x $ 的十位数字是 $ m $，个位数字是 $ n $，则原两位数为 $ 10m + n $，对调后新两位数为 $ 10n + m $。
$ S(x) = \frac{(10m + n) + (10n + m)}{11} = \frac{11m + 11n}{11} = m + n $。
22. (本小题 6 分)设$A= -\frac{1}{2}x-4(x-\frac{1}{3}y)+(-\frac{3}{2}x+\frac{2}{3}y)$.
(1) 当$x= -\frac{1}{3},y= 1$时,求 A 的值;
(2) 若使求得的 A 的值与(1)中的结果相同,则给出的 x,y 的值还可以是______.
(1) 当$x= -\frac{1}{3},y= 1$时,求 A 的值;
(2) 若使求得的 A 的值与(1)中的结果相同,则给出的 x,y 的值还可以是______.
(1) 解：
$A= -\frac{1}{2}x-4x+\frac{4}{3}y-\frac{3}{2}x+\frac{2}{3}y$
$A= -6x+2y$
当 $x= -\frac{1}{3}, y= 1$ 时，
$A= -6×(-\frac{1}{3})+2×1$
$A= 2+2$
$A= 4$
(2) $x=0$，$y=2$（答案不唯一）
$A= -\frac{1}{2}x-4x+\frac{4}{3}y-\frac{3}{2}x+\frac{2}{3}y$
$A= -6x+2y$
当 $x= -\frac{1}{3}, y= 1$ 时，
$A= -6×(-\frac{1}{3})+2×1$
$A= 2+2$
$A= 4$
(2) $x=0$，$y=2$（答案不唯一）
答案
(1) 解：
$A= -\frac{1}{2}x-4x+\frac{4}{3}y-\frac{3}{2}x+\frac{2}{3}y$
$A= -6x+2y$
当 $x= -\frac{1}{3}, y= 1$ 时，
$A= -6×(-\frac{1}{3})+2×1$
$A= 2+2$
$A= 4$
(2) 因为 $A$ 的值与 (1) 中的结果相同，即 $A=4$，
则 $-6x+2y=4$，
化简得：$y=3x+2$，
给出的 $x, y$ 的值只要满足 $y=3x+2$ 即可，
例如：当 $x=0$ 时，$y=2$。
$A= -\frac{1}{2}x-4x+\frac{4}{3}y-\frac{3}{2}x+\frac{2}{3}y$
$A= -6x+2y$
当 $x= -\frac{1}{3}, y= 1$ 时，
$A= -6×(-\frac{1}{3})+2×1$
$A= 2+2$
$A= 4$
(2) 因为 $A$ 的值与 (1) 中的结果相同，即 $A=4$，
则 $-6x+2y=4$，
化简得：$y=3x+2$，
给出的 $x, y$ 的值只要满足 $y=3x+2$ 即可，
例如：当 $x=0$ 时，$y=2$。
