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1. 已知$\odot O$的半径为2,直线$l上有一点P$,$PO = 2$,则直线$l与\odot O$的位置关系是(
A.相切
B.相离
C.相离或相切
D.相切或相交
D
)A.相切
B.相离
C.相离或相切
D.相切或相交
答案
D
解析
当$PO \perp l$时，圆心$O$到直线$l$的距离$d=PO=2$，$\odot O$的半径$r=2$，此时$d=r$，直线$l$与$\odot O$相切；
当$PO$不垂直于$l$时，圆心$O$到直线$l$的距离$d ＜ PO=2$，即$d ＜ r$，直线$l$与$\odot O$相交。
综上，直线$l$与$\odot O$的位置关系是相切或相交。
D
当$PO$不垂直于$l$时，圆心$O$到直线$l$的距离$d ＜ PO=2$，即$d ＜ r$，直线$l$与$\odot O$相交。
综上，直线$l$与$\odot O$的位置关系是相切或相交。
D
2. 在平面直角坐标系中,以点$(3,2)$为圆心,3为半径的圆,一定(
A.与$x$轴相切,与$y$轴相切
B.与$x$轴相切,与$y$轴相交
C.与$x$轴相交,与$y$轴相切
D.与$x$轴相交,与$y$轴相交
C
)A.与$x$轴相切,与$y$轴相切
B.与$x$轴相切,与$y$轴相交
C.与$x$轴相交,与$y$轴相切
D.与$x$轴相交,与$y$轴相交
答案
C
解析
圆心$(3,2)$到$x$轴的距离为$2$，半径为$3$，因为$2＜3$，所以圆与$x$轴相交；圆心到$y$轴的距离为$3$，半径为$3$，因为$3=3$，所以圆与$y$轴相切。
C
C
3. 已知$\odot O$的半径为7,直线$l与\odot O$相交,点$O到直线l$的距离为4,则$\odot O上到直线l$的距离为3的点共有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
过点$O$作直线$l$的垂线，垂足为$P$，则$OP = 4$。
在垂线上，点$O$两侧分别取点$A$、$B$，使$PA = 3$，$PB = 3$。
点$A$在直线$l$与点$O$之间：$OA=OP - PA=4 - 3=1$，以$O$为圆心，$7$为半径的圆与过$A$且平行于$l$的直线相交，交点有$2$个。
点$B$在点$O$远离直线$l$一侧：$OB=OP + PB=4 + 3=7$，以$O$为圆心，$7$为半径的圆与过$B$且平行于$l$的直线相切，交点有$1$个。
综上，共有$2 + 1=3$个点。
C
在垂线上，点$O$两侧分别取点$A$、$B$，使$PA = 3$，$PB = 3$。
点$A$在直线$l$与点$O$之间：$OA=OP - PA=4 - 3=1$，以$O$为圆心，$7$为半径的圆与过$A$且平行于$l$的直线相交，交点有$2$个。
点$B$在点$O$远离直线$l$一侧：$OB=OP + PB=4 + 3=7$，以$O$为圆心，$7$为半径的圆与过$B$且平行于$l$的直线相切，交点有$1$个。
综上，共有$2 + 1=3$个点。
C
4. 已知圆心$O到直线l的距离为d$,$\odot O的半径r = 6$,若$d是方程x^{2}-x - 6 = 0$的一个根,则直线$l与\odot O$的位置关系为
相交
。答案
相交
解析
解方程$x^{2}-x - 6 = 0$，因式分解得$(x - 3)(x + 2)=0$，解得$x=3$或$x=-2$。因为距离$d\geq0$，所以$d=3$。已知$\odot O$的半径$r = 6$，由于$d=3\lt r=6$，所以直线$l$与$\odot O$的位置关系为相交。
5. 如图24 - 2 - 2 - 2,已知$Rt\triangle ABC的斜边AB = 8cm$,$AC = 4cm$。以点$C$为圆心作圆,当半径为多长时,直线$AB与\odot C$相切？
答案
2$\sqrt{3}$cm
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AB=8\mathrm{cm}$，$AC=4\mathrm{cm}$。
由勾股定理，$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
设点$C$到直线$AB$的距离为$h$，根据三角形面积公式，$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot h$。
即$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=\frac{1}{2}×8× h$，解得$h=2\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
因为直线$AB$与$\odot C$相切时，半径等于圆心$C$到直线$AB$的距离，所以半径为$2\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
由勾股定理，$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
设点$C$到直线$AB$的距离为$h$，根据三角形面积公式，$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot h$。
即$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=\frac{1}{2}×8× h$，解得$h=2\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
因为直线$AB$与$\odot C$相切时，半径等于圆心$C$到直线$AB$的距离，所以半径为$2\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
6. 如图24 - 2 - 2 - 3,半径为2的$\odot P的圆心在直线y = 2x - 1$上运动。
(1)当$\odot P和x$轴相切时,写出点$P$的坐标；
(2)当$\odot P和y$轴相切时,写出点$P$的坐标；
(3)$\odot P是否能同时与x轴和y$轴相切？若能,写出点$P$的坐标；若不能,请说明理由。
(1)当$\odot P和x$轴相切时,写出点$P$的坐标；
(2)当$\odot P和y$轴相切时,写出点$P$的坐标；
(3)$\odot P是否能同时与x轴和y$轴相切？若能,写出点$P$的坐标；若不能,请说明理由。
答案
(1)P₁(1.5,2),P₂(−0.5,−2)
(2)P₁(2,3),P₂(−2,−5)
(3)不能。理由略
7. 如图24 - 2 - 2 - 4,一艘渔船正由西向东追赶鱼群,在$A处测得小岛C在船的北偏东60^{\circ}$方向,距离$A处80km$,此时渔船接到通知,以小岛$C为中心周围30km$以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区,问这艘渔船继续向东追赶鱼群,是否有进入危险区域的可能？
答案
解:过C作CD垂直于东西方向，垂足为D。由已知可得,CD=$\frac{1}{2}$AC=40km,因为40＞30,所以追赶路线与着弹危险区的位置关系是相离，所以这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。
解析
解:过点$C$作$CD \perp$渔船航行路线（东西方向），垂足为$D$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle CAD = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$，$AC = 80km$。
$CD = AC \cdot \sin 30^{\circ} = 80 × \frac{1}{2} = 40km$。
因为$40km ＞ 30km$，所以渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle CAD = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$，$AC = 80km$。
$CD = AC \cdot \sin 30^{\circ} = 80 × \frac{1}{2} = 40km$。
因为$40km ＞ 30km$，所以渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。
8. 如图24 - 2 - 2 - 5,$\odot O的直径DE = 12cm$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,$BC = 12cm$,$\odot O以2cm/s$的速度从左向右移动,在运动过程中,$DE始终在直线BC$上,设运动的时间为$t(s)$,当$t = 0$时,$\odot O在\triangle ABC$的左侧,$OC = 8cm$；当$t$为何值时,$\triangle ABC的一边所在的直线与\odot O$相切？
答案
解:当⊙O与AC在AC的左侧相切时，t=1;
当⊙O与AB在AB的左侧相切时,t=4;当⊙O与AC在AC的右侧相切时,t=7;当⊙O与AB在AB的右侧相切时,t=16。
∴t=1,4,7,16时,⊙O与△ABC的一边所在的直线相切。
当⊙O与AB在AB的左侧相切时,t=4;当⊙O与AC在AC的右侧相切时,t=7;当⊙O与AB在AB的右侧相切时,t=16。
∴t=1,4,7,16时,⊙O与△ABC的一边所在的直线相切。
