24. (10分)如图,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle ABC = 90^{\circ} $,以 $ AB $ 为直径作半圆 $ O $ 交 $ AC $ 于点 $ D $,点 $ E $ 为 $ BC $ 的中点,连接 $ DE $。
(1)求证：$ DE $ 是半圆 $ O $ 的切线；
(2)若 $ \angle BAC = 30^{\circ} $,$ DE = 2 $,求 $ AD $ 的长。

(1)略
(2)解:在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 30^{\circ}$，
∴$BC=\frac{1}{2}AC$，
∵$BC = 2DE = 4$，
∴$AC = 8$，又
∵$\angle C = 60^{\circ}$，$DE = CE$，
∴$\triangle DEC$为等边三角形，即$DC = DE = 2$，则$AD = AC - DC = 6$。

25. (12分)如图,抛物线 $ C_{1} $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A(-3,0) $,$ B(1,0) $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C(0,3) $,点 $ D $ 为抛物线的顶点。
(1)求抛物线 $ C_{1} $ 的解析式；
(2)将抛物线 $ C_{1} $ 关于直线 $ x = 1 $ 对称后的抛物线记为 $ C_{2} $,将抛物线 $ C_{1} $ 关于点 $ B $ 中心对称后的抛物线记为 $ C_{3} $,点 $ E $ 为抛物线 $ C_{3} $ 的顶点,在抛物线 $ C_{2} $ 的对称轴上是否存在点 $ F $,使得 $ \triangle BEF $ 为等腰三角形？若存在,请求出点 $ F $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

解:
(1)$y=-x^2 - 2x + 3$
(2)
∵抛物线$C_1$的解析式为$y=-x^2 - 2x + 3$，
∴抛物线$C_1$的顶点为$(-1,4)$。
∵将抛物线$C_1$关于直线$x = 1$对称后的抛物线记为$C_2$，将抛物线$C_1$关于点$B$中心对称后的抛物线记为$C_3$，
∴抛物线$C_2$的解析式为$y=-(x - 3)^2 + 4$，抛物线$C_3$的解析式为$y=(x - 3)^2 - 4$。
∵点$E$为抛物线$C_3$的顶点，
∴点$E(3,-4)$，
∴$BE=\sqrt{(3 - 1)^2+(-4 - 0)^2}=2\sqrt{5}$
∵点$F$在抛物线$C_2$的对称轴上，
∴点$F$的横坐标为3。若$BE = EF = 2\sqrt{5}$，则$F$点的坐标为$(3,-4 + 2\sqrt{5})$或$(3,-4 - 2\sqrt{5})$；若$BE = BF$，则点$F$与点$E$关于$x$轴对称，
∴点$F(3,4)$；若$BF = EF$，则$2^2+(4 - EF)^2 = BF^2$，
∴$BF = EF=\frac{5}{2}$，
∴点$F(3,-\frac{3}{2})$。 综上所述，当点$F$的坐标为$(3,-4 + 2\sqrt{5})$或$(3,-4 - 2\sqrt{5})$或$(3,4)$或$(3,-\frac{3}{2})$时，$\triangle BEF$为等腰三角形。