例 1 如果某人患上流感,经过两轮传染后,共有 81 人受到感染,那么每轮传染中平均一个人要传染几人？
名师导引 遇到传播疾病问题时,要注意理清数量关系,若第一轮传播后第 1 个人感染了 $ x $ 人,第二轮传染源就有 $ (x + 1) $ 人,因此第二轮传播感染的人数为 $ x(x + 1) $。

每轮传染中平均一个人要传染8人。

设每轮传染中平均一个人传染$x$人。
第一轮传染后，新增感染人数为$x$，总感染人数为$1 + x$。
第二轮传染源有$(x + 1)$人，新增感染人数为$x(x + 1)$，总感染人数为$1 + x + x(x + 1)$。
根据题意，经过两轮传染后共有81人感染，因此方程为：
$1 + x + x(x + 1) = 81$
整理方程：
$x^2 + 2x + 1 = 81$
$(x + 1)^2 = 81$
解得：
$x + 1 = \pm 9$
$x = 8 \quad 或 \quad x = -10$
由于人数不能为负，所以$x = -10$不符合题意，舍去。
最终

变式训练 某校研学小组在一次野外实践时,发现某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是 91。设每个支干长出 $ x $ 个小分支,则可得方程为。

设每个支干长出 $x$ 个小分支，则支干的数目为 $x$（因为主干长出若干数目支干，数目与每个支干长出的小分支数目相同），小分支的数目为 $x × x = x^2$。
根据题意，主干、支干和小分支的总数是91，可以列出方程：
$1（主干）+ x（支干）+ x^2（小分支）= 91$。
整理得：
$x^2 + x + 1 = 91$。
故答案为：$x^2 + x + 1 = 91$。

例 2 某市组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两支球队之间都赛一场),计划安排 28 场比赛,应邀请多少支球队参赛？学习以下解答过程,并填空。
解：设应邀请 $ n $ 支球队参赛,则每队共打场比赛,比赛总场数用代数式表示为。根据题意,可列出方程。整理,得。解这个方程,得。符合实际意义的解为。答：应邀请支球队参赛。
名师导引 单循环与双循环的区别：单循环与顺序、方向无关,总数为 $ \frac{n(n - 1)}{2} $；双循环与顺序、方向有关,总数为 $ n(n - 1) $。

设应邀请 $n$ 支球队参赛，则每队共打 $n - 1$ 场比赛，比赛总场数用代数式表示为 $\frac{n(n - 1)}{2}$。
根据题意，可列出方程 $\frac{n(n - 1)}{2} = 28$。
整理，得 $n^{2} - n - 56 = 0$。
解这个方程，得 $n_{1} = 8$，$n_{2} = -7$（不合题意，舍去）。
符合实际意义的解为 $n = 8$。
答：应邀请 $8$ 支球队参赛。

(1)(2023 萍乡期末)在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯 36 次,则参加酒会的人数为人。
(2)一个微信群里共有 $ x $ 个好友,每个好友都分别给群里的其他好友发送一条信息,共发了 756 条信息,则可列方程为。

(1)
设参加酒会的人数为$x$人。
每两人都只碰一次杯，所以碰杯总次数为从$x$人中任选2人的组合数，即$\frac{x(x - 1)}{2}$。
根据题意，有$\frac{x(x - 1)}{2} = 36$。
展开方程得：$x^2 - x - 72 = 0$。
因式分解得：$(x - 9)(x + 8) = 0$。
解得：$x_1 = 9$，$x_2 = -8$（由于人数不能为负，所以$x_2 = -8$不符合题意，舍去）。
所以，参加酒会的人数为9人。
(2)
设微信群里有$x$个好友。
每个好友都分别给群里的其他好友发送一条信息，所以每个好友发送的信息数为$x - 1$。
总信息数为$x(x - 1)$。
根据题意，有$x(x - 1) = 756$。
所以，可列方程为：$x(x - 1) = 756$。

1. 流感的传染性极强,如果有一人患上流感,经过两轮传染后有 64 人患上流感,设每轮传染中平均一个人传染了 $ x $ 个人,下列等式正确的是()
A.$ x + x(1 + x) = 64 $
B.$ 1 + x + x^{2} = 64 $
C.$ (1 + x)^{2} = 64 $
D.$ x(1 + x) = 64 $

C

第一轮传染后患病的人数为$1 + x$；第二轮传染中，这些人每人又传染$x$人，所以第二轮新增患者$x(1 + x)$人，两轮后总患者数为$1 + x + x(1 + x) = (1 + x)^2$。已知两轮后有64人患病，故等式为$(1 + x)^2 = 64$。

2. 某校组织篮球比赛,以班级为单位,每两个班级之间都比赛一场,计划安排 15 场比赛,则参赛的班级有()
A.4 个
B.5 个
C.6 个
D.7 个

C

设参赛的班级有$x$个，每两个班级之间比赛一场，则总比赛场数为$\frac{x(x-1)}{2}$。根据题意，总比赛场数为15场，因此列方程：
$\frac{x(x-1)}{2} = 15$
$x(x-1) = 30$
$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得$x_1=6$，$x_2=-5$（舍去负数解），故参赛班级有6个。