4. (2024 东昌府二模)如图,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的顶点坐标是 $ ( 1,m ) $,若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c - 4 = 0 $ 无实数根,则 $ m $ 的取值范围是。

$m\lt4$（填写为 $m ＜ 4$ 的形式，根据要求这里填 $m＜4$ 对应的答案形式，本题是填空形式，按规则写答案）
$m ＜ 4$

由抛物线的顶点坐标是$(1,m)$，可设抛物线方程为$y=a(x - 1)^{2}+m$，$a\lt0$。
方程$ax^{2}+bx + c-4 = 0$无实数根，即$ax^{2}+bx + c = 4$无实数根，也就是函数$y = ax^{2}+bx + c$与$y = 4$无交点。
因为抛物线开口向下，且顶点坐标为$(1,m)$，所以$m\lt4$。

5. 如图,矩形花圃 $ ABCD $ 的一边靠墙(墙足够长),其他三边用 16m 长的篱笆围成,这个花圃的最大面积是$ m^{2} $。

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设与墙平行的一边 $AD$ 的长度为 $x$ 米，那么与墙垂直的两边 $AB$ 和 $CD$ 的长度各为 $\frac{16 - x}{2}$ 米。
矩形花圃的面积 $S$ 可以表示为：
$S = x × \frac{16 - x}{2} = \frac{16x - x^2}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 8x$，
这是一个关于 $x$ 的二次函数，且二次项系数为负，所以函数开口向下，有最大值。
最大值出现在对称轴上，对称轴的 $x$ 坐标为 $-\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 × (-\frac{1}{2})} = 8$。
将 $x = 8$ 代入面积公式，得到最大面积：
$S = -\frac{1}{2} × 8^2 + 8 × 8 = 32$。
故最大面积为 $32m^2$。

6. (2024 湖南模拟)某商店对柑橘上市后的市场销售情况进行调查发现,当柑橘的销售单价为每件 25 元时,每天的销售量为 50 件,销售单价每提高 1 元,每天的销售量就减少 2 件。
(1)用适当的函数表示该柑橘的销售量 $ y $(件)与销售单价 $ x $(元/件)之间的关系,其中 $ x \geq 25 $；
(2)已知柑橘的进货价格为每件 20 元,当柑橘的销售单价定为多少元/件时,该商店销售柑橘每天获得的利润最大？最大利润是多少？

(1)
根据题意，当销售单价为$25$元时，销售量为$50$件，销售单价每提高$1$元，销售量减少$2$件。
设销售单价为$x$元，销售量为$y$件，则有：
$y = 50 - 2(x - 25)$，
化简得：
$y = -2x + 100$，
其中$x \geq 25$。
(2)
设销售单价为$x$元时，每天获得的利润为$w$元。
进货价格为每件$20$元，销售量为$-2x + 100$件，因此利润函数为：
$w = (x - 20)(-2x + 100)$，
展开得：
$w = -2x^2 + 140x - 2000$，
进一步化简为顶点式：
$w = -2(x - 35)^2 + 450$，
由于二次项系数为负，函数开口向下，因此当$x = 35$时，$w$取得最大值，即$450$元。
答：当柑橘的销售单价定为$35$元/件时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大，最大利润是$450$元。

7. 如图,已知二次函数 $ y = mx^{2} + 3mx - \frac{27}{4}m $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧),顶点 $ D $ 和点 $ B $ 关于过点 $ A $ 的直线 $ l:y = - \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{3\sqrt{3}}{2} $ 对称。
将二次函数的图象向右平移 $ \frac{3}{2} $ 个单位,再向上平移 $ 3\sqrt{3} $ 个单位。平移后的二次函数的图象上存在一点 $ M $,其横坐标为 3,在 $ y $ 轴上是否存在点 $ F $,使得 $ \angle MAF = 45^{\circ} $？若存在,请求出点 $ F $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

存在，$ F $的坐标为$ \left(0, \frac{180\sqrt{3}+333}{26}\right) $或$ \left(0, \frac{180\sqrt{3}-333}{26}\right) $。

解答过程：
1. 求A、B坐标
令二次函数$ y = mx^2 + 3mx - \frac{27}{4}m $中$ y=0 $，化简得$ x^2 + 3x - \frac{27}{4}=0 $，解得$ x=-\frac{9}{2} $或$ x=\frac{3}{2} $。
∴ $ A\left(-\frac{9}{2}, 0\right) $，$ B\left(\frac{3}{2}, 0\right) $。
2. 求顶点D及m值
二次函数对称轴为$ x=-\frac{3}{2} $，代入得顶点$ D\left(-\frac{3}{2}, -9m\right) $。
∵ D与B关于直线$ l: y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{3\sqrt{3}}{2} $对称，B、D中点为$ \left(0, -\frac{9m}{2}\right) $，代入直线$ l $得$ -\frac{9m}{2}=-\frac{3\sqrt{3}}{2} $，解得$ m=\frac{\sqrt{3}}{3} $。
∴ $ D\left(-\frac{3}{2}, -3\sqrt{3}\right) $。
3. 平移后二次函数及M点坐标
原函数顶点式为$ y=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(x+\frac{3}{2}\right)^2 - 3\sqrt{3} $，向右平移$ \frac{3}{2} $个单位、向上平移$ 3\sqrt{3} $个单位后，得$ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x^2 $。
当$ x=3 $时，$ y=3\sqrt{3} $，∴ $ M(3, 3\sqrt{3}) $。
4. 求点F坐标
设$ F(0, t) $，$ A\left(-\frac{9}{2}, 0\right) $，$ M(3, 3\sqrt{3}) $。
直线$ AM $斜率$ k_{AM}=\frac{3\sqrt{3}-0}{3+\frac{9}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{5} $，直线$ AF $斜率$ k_{AF}=\frac{t}{\frac{9}{2}}=\frac{2t}{9} $。
由夹角公式$ \tan45°=\left|\frac{k_{AM}-k_{AF}}{1+k_{AM}k_{AF}}\right|=1 $，得$ \left|\frac{\frac{2\sqrt{3}}{5}-\frac{2t}{9}}{1+\frac{4\sqrt{3}t}{45}}\right|=1 $。
解得$ t=\frac{180\sqrt{3}\pm333}{26} $。
结论：
存在点$ F $，坐标为$ \left(0, \frac{180\sqrt{3}+333}{26}\right) $或$ \left(0, \frac{180\sqrt{3}-333}{26}\right) $。