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8. 如图所示,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A(3,0)在x轴正半轴上,顶点B在y轴正半轴上,顶点D在x轴负半轴上.若抛物线$y= -x^2 - 5x + c$经过点B,C,则菱形ABCD的面积为(
A.15
B.20
C.25
D.30
B
).A.15
B.20
C.25
D.30
答案
解：设点B坐标为(0, b)，菱形边长为a。
∵A(3,0)，∴OA=3，AD=a，OD=AD-OA=a-3，故D(-(a-3),0)即D(3-a,0)。
∵菱形ABCD，BC//AD且BC=AD=a，AD在x轴上，∴点C坐标为(-a, b)。
∵抛物线y=-x²-5x+c经过B(0,b)、C(-a,b)，
∴当x=0时，b=c；当x=-a时，b=-(-a)²-5(-a)+c=-a²+5a+c。
∵b=c，∴c=-a²+5a+c，解得a²-5a=0，a(a-5)=0，a=5（a=0舍）。
∴AD=5，OD=5-3=2，OA=3，∴菱形ABCD的面积=AD×OB=5b。
又∵抛物线对称轴为x=-(-5)/(2×(-1))=-5/2，B、C纵坐标相同，
∴对称轴为BC中点横坐标，即(0+(-a))/2=-5/2，-a/2=-5/2，a=5（验证一致）。
∵a=5，∴D(3-5,0)=(-2,0)。
∵ABCD是菱形，AB=AD=5，在Rt△AOB中，AB²=OA²+OB²，5²=3²+b²，b²=16，b=4（b＞0）。
∴菱形面积=5b=5×4=20。
答案：B
∵A(3,0)，∴OA=3，AD=a，OD=AD-OA=a-3，故D(-(a-3),0)即D(3-a,0)。
∵菱形ABCD，BC//AD且BC=AD=a，AD在x轴上，∴点C坐标为(-a, b)。
∵抛物线y=-x²-5x+c经过B(0,b)、C(-a,b)，
∴当x=0时，b=c；当x=-a时，b=-(-a)²-5(-a)+c=-a²+5a+c。
∵b=c，∴c=-a²+5a+c，解得a²-5a=0，a(a-5)=0，a=5（a=0舍）。
∴AD=5，OD=5-3=2，OA=3，∴菱形ABCD的面积=AD×OB=5b。
又∵抛物线对称轴为x=-(-5)/(2×(-1))=-5/2，B、C纵坐标相同，
∴对称轴为BC中点横坐标，即(0+(-a))/2=-5/2，-a/2=-5/2，a=5（验证一致）。
∵a=5，∴D(3-5,0)=(-2,0)。
∵ABCD是菱形，AB=AD=5，在Rt△AOB中，AB²=OA²+OB²，5²=3²+b²，b²=16，b=4（b＞0）。
∴菱形面积=5b=5×4=20。
答案：B
9. 已知二次函数$y = ax^2-2ax + 3$(其中x是自变量),当$0 ＜ x ＜ 3$时对应的函数值y均为正数,则a的取值范围是(
A.$0 ＜ a ＜ 1$
B.$a ＜ -1或a＞3$
C.$-3 ＜ a ＜ 0或0 ＜ a ＜ 3$
D.$-1\leq a ＜ 0或0 ＜ a ＜ 3$
D
).A.$0 ＜ a ＜ 1$
B.$a ＜ -1或a＞3$
C.$-3 ＜ a ＜ 0或0 ＜ a ＜ 3$
D.$-1\leq a ＜ 0或0 ＜ a ＜ 3$
答案
【解析】：
首先，我们将给定的二次函数$y = ax^{2} - 2ax + 3$进行配方，
得到$y = a(x - 1)^{2} + 3 - a$。
由此，我们可以确定该二次函数的对称轴为直线$x = 1$，并且函数在$x = 1$处取得最小值$3 - a$。
接下来，我们根据$a$的正负性进行分类讨论：
当$a ＞ 0$时，由于二次函数开口向上，
函数在$x = 1$处取得最小值，
因此只需保证最小值$3 - a \geq 0$，
即可保证在$0 ＜ x ＜ 3$的范围内，函数值$y$均为正数。
解这个不等式，我们得到$0 ＜ a ＜ 3$。
当$a ＜ 0$时，二次函数开口向下。
由于对称轴$x = 1$在$0 ＜ x ＜ 3$的范围内，
我们需要保证在$x = 3$处的函数值大于$0$，
即$9a - 6a + 3 \geq 0$，
解这个不等式，我们得到$- 1 \leqslant a ＜ 0$。
又因为$a$不能等于$0$，
否则函数将退化为一次函数，
所以结合上述两种情况，我们得到$a$的取值范围为$- 1 \leqslant a ＜ 0$或$0 ＜ a ＜ 3$。
【答案】：D
首先，我们将给定的二次函数$y = ax^{2} - 2ax + 3$进行配方，
得到$y = a(x - 1)^{2} + 3 - a$。
由此，我们可以确定该二次函数的对称轴为直线$x = 1$，并且函数在$x = 1$处取得最小值$3 - a$。
接下来，我们根据$a$的正负性进行分类讨论：
当$a ＞ 0$时，由于二次函数开口向上，
函数在$x = 1$处取得最小值，
因此只需保证最小值$3 - a \geq 0$，
即可保证在$0 ＜ x ＜ 3$的范围内，函数值$y$均为正数。
解这个不等式，我们得到$0 ＜ a ＜ 3$。
当$a ＜ 0$时，二次函数开口向下。
由于对称轴$x = 1$在$0 ＜ x ＜ 3$的范围内，
我们需要保证在$x = 3$处的函数值大于$0$，
即$9a - 6a + 3 \geq 0$，
解这个不等式，我们得到$- 1 \leqslant a ＜ 0$。
又因为$a$不能等于$0$，
否则函数将退化为一次函数，
所以结合上述两种情况，我们得到$a$的取值范围为$- 1 \leqslant a ＜ 0$或$0 ＜ a ＜ 3$。
【答案】：D
10. 已知当$-1\leq x\leq2$时,二次函数$y = x^2 + 2kx + 1$的最小值是-1,则实数k的值是(
A.$\frac{3}{2}$
B.$-\sqrt{3}$
C.$\frac{3}{2}或-\sqrt{2}$
D.$\frac{3}{2}或-\sqrt{2}或-\frac{3}{2}$
C
).A.$\frac{3}{2}$
B.$-\sqrt{3}$
C.$\frac{3}{2}或-\sqrt{2}$
D.$\frac{3}{2}或-\sqrt{2}或-\frac{3}{2}$
答案
解：二次函数$y=x^2 + 2kx + 1$的对称轴为$x=-k$，开口向上。
情况1：当$-k ＜ -1$，即$k ＞ 1$时，在$-1\leq x\leq2$上，函数单调递增，$x=-1$时取得最小值。
$y_{min}=(-1)^2 + 2k(-1) + 1 = 1 - 2k + 1 = 2 - 2k$。
由$2 - 2k = -1$，得$k = \frac{3}{2}$，符合$k ＞ 1$。
情况2：当$-1\leq -k\leq2$，即$-2\leq k\leq1$时，函数在对称轴$x=-k$处取得最小值。
$y_{min}=(-k)^2 + 2k(-k) + 1 = k^2 - 2k^2 + 1 = -k^2 + 1$。
由$-k^2 + 1 = -1$，得$k^2 = 2$，$k = \pm\sqrt{2}$。
因$-2\leq k\leq1$，则$k = -\sqrt{2}$。
情况3：当$-k ＞ 2$，即$k ＜ -2$时，在$-1\leq x\leq2$上，函数单调递减，$x=2$时取得最小值。
$y_{min}=2^2 + 2k(2) + 1 = 4 + 4k + 1 = 5 + 4k$。
由$5 + 4k = -1$，得$k = -\frac{3}{2}$，不符合$k ＜ -2$，舍去。
综上，$k = \frac{3}{2}$或$k = -\sqrt{2}$。
答案：C
情况1：当$-k ＜ -1$，即$k ＞ 1$时，在$-1\leq x\leq2$上，函数单调递增，$x=-1$时取得最小值。
$y_{min}=(-1)^2 + 2k(-1) + 1 = 1 - 2k + 1 = 2 - 2k$。
由$2 - 2k = -1$，得$k = \frac{3}{2}$，符合$k ＞ 1$。
情况2：当$-1\leq -k\leq2$，即$-2\leq k\leq1$时，函数在对称轴$x=-k$处取得最小值。
$y_{min}=(-k)^2 + 2k(-k) + 1 = k^2 - 2k^2 + 1 = -k^2 + 1$。
由$-k^2 + 1 = -1$，得$k^2 = 2$，$k = \pm\sqrt{2}$。
因$-2\leq k\leq1$，则$k = -\sqrt{2}$。
情况3：当$-k ＞ 2$，即$k ＜ -2$时，在$-1\leq x\leq2$上，函数单调递减，$x=2$时取得最小值。
$y_{min}=2^2 + 2k(2) + 1 = 4 + 4k + 1 = 5 + 4k$。
由$5 + 4k = -1$，得$k = -\frac{3}{2}$，不符合$k ＜ -2$，舍去。
综上，$k = \frac{3}{2}$或$k = -\sqrt{2}$。
答案：C
11. 抛物线$y= -2x^2 + 4x - 1$的对称轴是直线
$x = 1$
.答案
【解析】：
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其对称轴的方程为$x = -\frac{b}{2a}$。
对于给定的抛物线$y = -2x^2 + 4x - 1$，其中$a = -2$，$b = 4$。
将这些值代入对称轴的方程，得到：
$x = -\frac{4}{2 × (-2)} = 1$
所以，抛物线的对称轴是直线$x = 1$。
【答案】：
$x = 1$
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其对称轴的方程为$x = -\frac{b}{2a}$。
对于给定的抛物线$y = -2x^2 + 4x - 1$，其中$a = -2$，$b = 4$。
将这些值代入对称轴的方程，得到：
$x = -\frac{4}{2 × (-2)} = 1$
所以，抛物线的对称轴是直线$x = 1$。
【答案】：
$x = 1$
12. 已知二次函数$y= (m + 1)x^2$有最大值,则m的取值范围是
$m ＜ -1$
.答案
【解析】：
本题主要考察二次函数的性质，特别是二次函数的开口方向和最值问题。
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，当$a ＞ 0$时，函数开口向上，有最小值；当$a ＜ 0$时，函数开口向下，有最大值。
对于给定的函数$y = (m + 1)x^2$，其系数$a = m + 1$。
要使该函数有最大值，需要$m + 1 ＜ 0$。
解这个不等式，得到$m ＜ -1$。
【答案】：
$m ＜ -1$
本题主要考察二次函数的性质，特别是二次函数的开口方向和最值问题。
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，当$a ＞ 0$时，函数开口向上，有最小值；当$a ＜ 0$时，函数开口向下，有最大值。
对于给定的函数$y = (m + 1)x^2$，其系数$a = m + 1$。
要使该函数有最大值，需要$m + 1 ＜ 0$。
解这个不等式，得到$m ＜ -1$。
【答案】：
$m ＜ -1$
13. 如图所示,小明参加运动会掷铅球比赛,已知铅球的行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为$y= -\frac{1}{9}(x - 3)^2 + 4$,则小明掷铅球的成绩为
9
m.答案
解：令$y = 0$，则$-\frac{1}{9}(x - 3)^2 + 4 = 0$
$-\frac{1}{9}(x - 3)^2 = -4$
$(x - 3)^2 = 36$
$x - 3 = \pm 6$
解得$x_1 = 9$，$x_2 = -3$（舍去）
9
$-\frac{1}{9}(x - 3)^2 = -4$
$(x - 3)^2 = 36$
$x - 3 = \pm 6$
解得$x_1 = 9$，$x_2 = -3$（舍去）
9
14. 若函数$y = mx^2+(m + 2)x+\frac{1}{2}m + 1$的图象与x轴只有一个交点,则m的值为
0或2或-2
.答案
解：分两种情况讨论：
情况一：当$m = 0$时，函数为一次函数$y=2x + 1$，与$x$轴有一个交点，符合题意。
情况二：当$m\neq0$时，函数为二次函数，图象与$x$轴只有一个交点，即判别式$\Delta=0$。
$\Delta=(m + 2)^2-4m\left(\frac{1}{2}m + 1\right)$
$=m^2 + 4m + 4-4m\left(\frac{m}{2}+1\right)$
$=m^2 + 4m + 4-2m^2-4m$
$=-m^2 + 4$
令$\Delta=0$，得$-m^2 + 4=0$，解得$m=\pm2$。
综上，$m$的值为$0$或$2$或$-2$。
答案：$0$或$2$或$-2$
情况一：当$m = 0$时，函数为一次函数$y=2x + 1$，与$x$轴有一个交点，符合题意。
情况二：当$m\neq0$时，函数为二次函数，图象与$x$轴只有一个交点，即判别式$\Delta=0$。
$\Delta=(m + 2)^2-4m\left(\frac{1}{2}m + 1\right)$
$=m^2 + 4m + 4-4m\left(\frac{m}{2}+1\right)$
$=m^2 + 4m + 4-2m^2-4m$
$=-m^2 + 4$
令$\Delta=0$，得$-m^2 + 4=0$，解得$m=\pm2$。
综上，$m$的值为$0$或$2$或$-2$。
答案：$0$或$2$或$-2$
