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1. 如图所示,添加以下哪个条件,仍不能直接证明△ABC与△ADE相似的是(
A.∠B= ∠ADE
B.∠C= ∠AED
C.$\frac{AC}{AE}= \frac{AB}{AD}$
D.$\frac{AC}{AE}= \frac{BC}{DE}$
D
)A.∠B= ∠ADE
B.∠C= ∠AED
C.$\frac{AC}{AE}= \frac{AB}{AD}$
D.$\frac{AC}{AE}= \frac{BC}{DE}$
答案
【解析】：本题考查相似三角形的判定定理。
相似三角形有以下判定方法：
1.如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似。
2.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
3.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
题目中已知$\angle CAB=\angle EAD$，因为这为公共角。
选项A，添加条件$\angle B=\angle ADE$，可以根据相似三角形判定定理1，得到$\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup ADE$。
选项B，添加条件$\angle C=\angle AED$，可以根据相似三角形判定定理1，得到$\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup ADE$。
选项C，添加条件$\frac{AC}{AE}= \frac{AB}{AD}$，可以根据相似三角形判定定理2，得到$\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup ADE$。
选项D，添加条件$\frac{AC}{AE}= \frac{BC}{DE}$，不能判定$\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup ADE$。
【答案】：D
相似三角形有以下判定方法：
1.如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似。
2.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
3.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
题目中已知$\angle CAB=\angle EAD$，因为这为公共角。
选项A，添加条件$\angle B=\angle ADE$，可以根据相似三角形判定定理1，得到$\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup ADE$。
选项B，添加条件$\angle C=\angle AED$，可以根据相似三角形判定定理1，得到$\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup ADE$。
选项C，添加条件$\frac{AC}{AE}= \frac{AB}{AD}$，可以根据相似三角形判定定理2，得到$\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup ADE$。
选项D，添加条件$\frac{AC}{AE}= \frac{BC}{DE}$，不能判定$\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup ADE$。
【答案】：D
2. 如图所示,△ABC与△A'B'C'位似,点O为位似中心. 若AA'= 3OA',B'C'= 5,则BC的长为(
A.15
B.20
C.10
D.5
C
)A.15
B.20
C.10
D.5
答案
解：∵△ABC与△A'B'C'位似，点O为位似中心，
∴△ABC∽△A'B'C'，且$\frac{OA}{OA'}$为相似比。
∵AA'=3OA'，AA'=OA+OA'，
∴OA+OA'=3OA'，即OA=2OA'，
∴$\frac{OA}{OA'}=\frac{2}{1}$。
∵相似三角形对应边成比例，
∴$\frac{BC}{B'C'}=\frac{OA}{OA'}=\frac{2}{1}$。
∵B'C'=5，
∴BC=2×5=10。
答案：C
∴△ABC∽△A'B'C'，且$\frac{OA}{OA'}$为相似比。
∵AA'=3OA'，AA'=OA+OA'，
∴OA+OA'=3OA'，即OA=2OA'，
∴$\frac{OA}{OA'}=\frac{2}{1}$。
∵相似三角形对应边成比例，
∴$\frac{BC}{B'C'}=\frac{OA}{OA'}=\frac{2}{1}$。
∵B'C'=5，
∴BC=2×5=10。
答案：C
3. 如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,点F在BC的延长线上,连接EF,分别交AD,CD于点G,H. 下列结论错误的是(
A.$\frac{EA}{BE}= \frac{EG}{EF}$
B.$\frac{EG}{GH}= \frac{AG}{GD}$
C.$\frac{AB}{AE}= \frac{BC}{CF}$
D.$\frac{FH}{EH}= \frac{CF}{AD}$
C
)A.$\frac{EA}{BE}= \frac{EG}{EF}$
B.$\frac{EG}{GH}= \frac{AG}{GD}$
C.$\frac{AB}{AE}= \frac{BC}{CF}$
D.$\frac{FH}{EH}= \frac{CF}{AD}$
答案
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，AD=BC，AB=CD．
选项A：
∵AD//BC，∴△EAG∽△EBF，
∴$\frac{EA}{BE}=\frac{EG}{EF}$，A正确．
选项B：
∵AB//CD，∴△AEG∽△DHG，
∴$\frac{EG}{GH}=\frac{AG}{GD}$，B正确．
选项C：
∵AD//BF，∴$\frac{EA}{BE}=\frac{AG}{BF}$；
∵AB//CH，∴$\frac{CF}{BF}=\frac{CH}{AB}$，无法直接推出$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{CF}$，C错误．
选项D：
∵AB//CD，∴△EBH∽△FCH，
∴$\frac{FH}{EH}=\frac{CF}{BE}$，
又∵AD=BC，BE=BA+AE，无法直接得出$\frac{FH}{EH}=\frac{CF}{AD}$，但结合AD//BF，△EDG∽△ECF，$\frac{EG}{EF}=\frac{ED}{EC}=\frac{AD}{CF+BC}=\frac{AD}{CF+AD}$，进而推导可得$\frac{FH}{EH}=\frac{CF}{AD}$，D正确．
结论：错误的是C．
答案：C
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，AD=BC，AB=CD．
选项A：
∵AD//BC，∴△EAG∽△EBF，
∴$\frac{EA}{BE}=\frac{EG}{EF}$，A正确．
选项B：
∵AB//CD，∴△AEG∽△DHG，
∴$\frac{EG}{GH}=\frac{AG}{GD}$，B正确．
选项C：
∵AD//BF，∴$\frac{EA}{BE}=\frac{AG}{BF}$；
∵AB//CH，∴$\frac{CF}{BF}=\frac{CH}{AB}$，无法直接推出$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{CF}$，C错误．
选项D：
∵AB//CD，∴△EBH∽△FCH，
∴$\frac{FH}{EH}=\frac{CF}{BE}$，
又∵AD=BC，BE=BA+AE，无法直接得出$\frac{FH}{EH}=\frac{CF}{AD}$，但结合AD//BF，△EDG∽△ECF，$\frac{EG}{EF}=\frac{ED}{EC}=\frac{AD}{CF+BC}=\frac{AD}{CF+AD}$，进而推导可得$\frac{FH}{EH}=\frac{CF}{AD}$，D正确．
结论：错误的是C．
答案：C
4. 如图所示,已知△ABC的面积是12,BC= 6,点E,I分别在边AB,AC上. 若在边BC上依次作了n个全等的小正方形：DEFG,GFMN,…,KHIJ,则每个小正方形的边长为(
A.$\frac{12}{11}$
B.$\frac{12}{2n-3}$
C.$\frac{12}{5}$
D.$\frac{12}{2n+3}$
D
)A.$\frac{12}{11}$
B.$\frac{12}{2n-3}$
C.$\frac{12}{5}$
D.$\frac{12}{2n+3}$
答案
解：过点A作BC的垂线，垂足为P，交EI于点Q。
∵△ABC面积为12，BC=6，
∴AP=（2×12）/6=4。
设每个小正方形边长为x，n个小正方形总边长为nx。
∵EI//BC，∴△AEI∽△ABC，相似比为AQ/AP=(AP-x)/AP=(4-x)/4。
又EI=nx，BC=6，∴相似比=EI/BC=nx/6。
则(4-x)/4=nx/6，
6(4-x)=4nx，
24-6x=4nx，
24=x(4n+6)，
x=24/(4n+6)=12/(2n+3)。
答案：D。
∵△ABC面积为12，BC=6，
∴AP=（2×12）/6=4。
设每个小正方形边长为x，n个小正方形总边长为nx。
∵EI//BC，∴△AEI∽△ABC，相似比为AQ/AP=(AP-x)/AP=(4-x)/4。
又EI=nx，BC=6，∴相似比=EI/BC=nx/6。
则(4-x)/4=nx/6，
6(4-x)=4nx，
24-6x=4nx，
24=x(4n+6)，
x=24/(4n+6)=12/(2n+3)。
答案：D。
5. 综合实践课上,小宇设计用光学原理来测量旗杆的高度. 把一面镜子放在与旗杆AC的距离为21 m的点B处,然后沿着射线CB后退到点E,这时恰好在镜子里看到旗杆顶点A,利用皮尺测量BE= 2.4 m. 若小宇的眼睛与地面的距离DE约为1.6 m,则旗杆AC的高度约为
14
m(结果保留整数).答案
【解析】：本题可根据相似三角形的性质来求解旗杆的高度。
因为光的反射原理可知$\angle EBD = \angle ABC$，又因为$\angle DEB = \angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\triangle EDB$与$\triangle ABC$相似。
根据相似三角形对应边成比例的性质，可列出比例式来求解旗杆$AC$的高度。
【答案】：
解：∵$\angle EBD = \angle ABC$，$\angle DEB = \angle ACB = 90^{\circ}$
∴$\triangle EDB\sim\triangle ABC$
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BE}{BC}$
已知$DE = 1.6m$，$BE = 2.4m$，$BC = 21m$，代入上式可得：
$\frac{1.6}{AC}=\frac{2.4}{21}$
$2.4AC = 1.6×21$
$AC=\frac{1.6×21}{2.4}=14m$
故答案为$14$。
因为光的反射原理可知$\angle EBD = \angle ABC$，又因为$\angle DEB = \angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\triangle EDB$与$\triangle ABC$相似。
根据相似三角形对应边成比例的性质，可列出比例式来求解旗杆$AC$的高度。
【答案】：
解：∵$\angle EBD = \angle ABC$，$\angle DEB = \angle ACB = 90^{\circ}$
∴$\triangle EDB\sim\triangle ABC$
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BE}{BC}$
已知$DE = 1.6m$，$BE = 2.4m$，$BC = 21m$，代入上式可得：
$\frac{1.6}{AC}=\frac{2.4}{21}$
$2.4AC = 1.6×21$
$AC=\frac{1.6×21}{2.4}=14m$
故答案为$14$。
6. 如图所示,把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置,边BC与DF交于点H. 设△HDB的面积为$S_1,$四边形ADHC的面积为$S_2. $若$S_1:S_2= 4:5,AB= 4,$则三角形移动的距离AD为______
4/3
.答案
解：设AD=x，则DB=AB-AD=4-x。
∵△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，
∴AC//DF，BC//EF，AD=BE=CF，△ABC≌△DEF。
∴∠C=∠DHB，∠A=∠HDB。
∴△ABC∽△DBH。
∵S₁:S₂=4:5，
∴S₁:(S₁+S₂)=4:9，即S_{△DBH}:S_{△ABC}=4:9。
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴(DB/AB)²=4/9。
∴DB/AB=2/3。
∴DB= (2/3)AB= (2/3)×4=8/3。
∵DB=4-x=8/3，
∴x=4 - 8/3=4/3。
即AD=4/3。
答案：4/3
∵△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，
∴AC//DF，BC//EF，AD=BE=CF，△ABC≌△DEF。
∴∠C=∠DHB，∠A=∠HDB。
∴△ABC∽△DBH。
∵S₁:S₂=4:5，
∴S₁:(S₁+S₂)=4:9，即S_{△DBH}:S_{△ABC}=4:9。
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴(DB/AB)²=4/9。
∴DB/AB=2/3。
∴DB= (2/3)AB= (2/3)×4=8/3。
∵DB=4-x=8/3，
∴x=4 - 8/3=4/3。
即AD=4/3。
答案：4/3
