3. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90°$，$CD$是斜边上的高.求证：
(1)$CD^{2} = AD· BD$；(2)$AC^{2} = AD· AB$.

(1) 证明：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°，
∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴$CD^{2}=AD·BD$.
(2) 证明：
∵∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∴$AC^{2}=AD·AB$.

4. 如图，$AD$是$\odot O$的内接三角形$ABC$的高，$AE$是$\odot O$的直径，求证$AB·$$AC = AD· AE$.

4.连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE = ∠ADC = 90°.又
∵∠E = ∠C，
∴△ABE∽△ADC.
∴$\frac{AC}{AE} = \frac{AD}{AB}.$
即AB·AC = AD·AE.

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 60°$，$P$是$\triangle ABC$内一
点，$\angle APB = \angle BPC = 120°$，且$PA = 8$，$PC = 6$，则$PB =$

$5.4\sqrt{3}$

证明：延长$BP$至点$D$，使$PD=PC$，连接$CD$。
$\because \angle BPC = 120°$，
$\therefore \angle CPD = 60°$。
$\because PD = PC$，
$\therefore \triangle PCD$为等边三角形，
$\therefore CD = PC = 6$，$\angle PCD = 60°$。
$\because \angle ABC = 60°$，$\angle APB = 120°$，
$\therefore \angle BAP + \angle ABP = 60°$，$\angle ABP + \angle PBC = 60°$，
$\therefore \angle BAP = \angle PBC$。
$\because \angle APB = \angle BPC = 120°$，
$\therefore \angle APB = \angle BCD = 120°$，
$\therefore \triangle APB \sim \triangle BCD$。
$\therefore \frac{PA}{PB} = \frac{PB}{CD}$，
$\therefore PB^2 = PA · CD = 8 × 6 = 48$，
$\therefore PB = 4\sqrt{3}$。
$4\sqrt{3}$

6. 如图，点$P$为四边形$ABCD$的两条边的延长线的交点，点$E$为对角线的
交点，已知$PA· PB = PD· PC$，直接写出图中的相似三角形.

6.△PAD∽△PCB；△PAC∽△PDB；△DEC∽△AEB；△DEA∽△CEB.

7. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$，$BE$分别为$BC$，$AC$边上的高，过点$D$作$AB$的
垂线交$AB$于点$F$，交$BE$于点$G$，交$AC$的延长线于点$H$，求证$DF^{2} =$
$FG· FH$.

7.提示：证明△DBF∽△ADF，△FBG∽△FHA.

证明：
∵AD⊥BC，DF⊥AB，
∴∠ADB=∠DFB=∠AFD=90°，
∵∠BDF+∠ADF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BDF=∠DAF，
∴△DBF∽△ADF，
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{BF}{DF}$，即$DF^2=BF·AF$。
∵BE⊥AC，HF⊥AB，
∴∠BFG=∠AEB=∠AFH=90°，
∵∠FBG+∠BAE=90°，∠H+∠BAE=90°，
∴∠FBG=∠H，
∴△FBG∽△FHA，
∴$\frac{FG}{AF}=\frac{BF}{FH}$，即$FG·FH=BF·AF$。
综上，$DF^2=FG·FH$。