1.(数学与生活)如图是某公园一段索道的示意图,已知 $A$,$B$ 分别为索道的起点和终点,且 $A$,$B$ 两点间的距离 $AB$ 为 $40$ 米,$\angle BAC = 30^{\circ}$,则缆车从 $A$ 点到 $B$ 点的高程($BC$ 的长)为()

A.$20$ 米
B.$17.5$ 米
C.$15$ 米
D.$12.5$ 米

A

由题意知，BC为高程，故BC⊥AC，∠ACB=90°。在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=40米。根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得BC=1/2AB=1/2×40=20米。

2. 如图,$OP$ 平分 $\angle AOB$,$\angle AOB = 60^{\circ}$,$PD\perp OA$ 于点 $D$,$E$ 是射线 $OB$ 上的一个动点,若 $OP = 6$,则 $PE$ 的最小值为()

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

B

根据题意，$OP$平分$\angle AOB$，且$\angle AOB = 60°$，所以$\angle AOP = \angle BOP = 30°$。
由于$PD \perp OA$，在直角三角形$OPD$中，$\angle DOP = 30°$，$OP = 6$，根据30-60-90直角三角形的性质，$PD = \frac{1}{2} × OP = 3$。
根据角平分线的性质，点$P$到$OB$的距离等于点$P$到$OA$的距离，即$PD$的长度，为3。
当$PE \perp OB$时，$PE$的长度最小，且等于点$P$到$OB$的距离，即3。

3. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图。其中 $AB$、$CD$ 分别表示一楼、二楼地面的水平线,$\angle ABC = 150^{\circ}$,$BC$ 的长是 $10\ m$,则乘电梯从点 $B$ 到点 $C$ 上升的高度 $h$ 是$m$。

5

过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，则CE=h。
∵AB//CD，CE⊥AB，
∴CE⊥CD，即∠BEC=90°。
∵∠ABC=150°，
∴∠CBE=180°-∠ABC=30°。
在Rt△BEC中，∠CBE=30°，BC=10m，
∴h=CE=BC·sin30°=10×1/2=5m。

4. 在等腰 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC = 4$,$\angle BAC = 30^{\circ}$,$D$ 在 $BC$ 边上,$DE\perp AB$ 于 $E$,$DF\perp AC$ 于 $F$,则 $DE + DF = $。

2

连接AD，过C作CG⊥AB于G。在Rt△AGC中，∠BAC=30°，AC=4，∴CG=1/2AC=2（30°角所对直角边是斜边一半）。S△ABC=1/2×AB×CG=1/2×4×2=4。∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，S△ABD=1/2×AB×DE，S△ACD=1/2×AC×DF，AB=AC=4，∴S△ABC=1/2×4×DE+1/2×4×DF=2(DE+DF)。∴2(DE+DF)=4，∴DE+DF=2。

5.(操作探究)教材利用倍长 $BC$ 的方法发现了结论：“在直角三角形中,如果有一个锐角等于 $30^{\circ}$,那么它所对的直角边等于斜边的一半。”我们还能用其他的方法证明这个结论吗？
下面是小明的探究过程,请根据他的思路完成以下作图和填空：
如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,求证：$AC = \frac{1}{2}AB$。
(1) 尺规作图：作 $\angle CAB$ 的角平分线交 $BC$ 于点 $D$,在 $AB$ 上取一点 $E$,使得 $AE = AC$,连接 $DE$(保留作图痕迹,不写作法)；

(2) 证明：$\because \angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,
$\therefore \angle CAB = $,
$\because AD$ 平分 $\angle CAB$,
$\therefore \angle CAD = $$= 30^{\circ}$。
在 $\triangle ACD$ 与 $\triangle AED$ 中,
$\begin{cases}AC = AE, \\\angle CAD = \angle EAD, \\AD = AD,\end{cases} $
$\therefore \triangle ACD\cong \triangle AED(SAS)$,
$\therefore$$= \angle ACB = 90^{\circ}$,
$\therefore DE\perp AB$。
又 $\because \angle ABC = \angle EAD = 30^{\circ}$,
$\therefore DA = $,
$\therefore$ 点 $E$ 是 $AB$ 的中点。
$\therefore$$= \frac{1}{2}AB$。
$\because AC = AE$,
$\therefore AC = \frac{1}{2}AB$。

(1) （作图痕迹略，需作出∠CAB的角平分线AD交BC于D，在AB上截取AE=AC，连接DE）
(2) 60°；∠EAD；∠AED；DB；AE