登录
例 1 利用分式的基本性质填空:
(1) $\frac{m}{n}= \frac{mk}{(
(2) $\frac{2am^{2}}{6bm}= \frac{(
(3) $\frac{1}{m - n}= \frac{m + n}{(
(4) $\frac{x - 2y}{x + y}= \frac{x^{2}-4y}{(
(1) $\frac{m}{n}= \frac{mk}{(
nk
)}(k≠0),\frac{a + b}{ab}= \frac{($a^{2}+ab$
)}{a^{2}b}$;(2) $\frac{2am^{2}}{6bm}= \frac{(
am
)}{3b},\frac{(18abc
)}{24a^{2}b}= \frac{3c}{4a}$;(3) $\frac{1}{m - n}= \frac{m + n}{(
$m^{2}-n^{2}$
)}(m + n≠0),\frac{6x^{2}-2xy}{4xy}= \frac{3x - y}{(2y
)}$;(4) $\frac{x - 2y}{x + y}= \frac{x^{2}-4y}{(
$x^{2}+3xy + 2y^{2}$
)}(x + 2y≠0),\frac{x^{2}-4y^{2}}{x^{2}+4xy + 4y^{2}}= \frac{(x - 2y
)}{x + 2y}$.答案
(1)
对于$\frac{m}{n}=\frac{mk}{( )}(k\neq0)$，根据分式的基本性质，分子乘以$k$，要使分式值不变，分母也乘以$k$，所以分母为$nk$；
对于$\frac{a + b}{ab}=\frac{( )}{a^{2}b}$，分母乘以$a$，要使分式值不变，分子也乘以$a$，所以分子为$a(a + b)=a^{2}+ab$。
(2)
对于$\frac{2am^{2}}{6bm}=\frac{( )}{3b}$，分母除以$2m$，要使分式值不变，分子也除以$2m$，$\frac{2am^{2}}{2m}=am$，所以分子为$am$；
对于$\frac{( )}{24a^{2}b}=\frac{3c}{4a}$，分母乘以$6ab$，要使分式值不变，分子也乘以$6ab$，$3c×6ab = 18abc$，所以分子为$18abc$。
(3)
对于$\frac{1}{m - n}=\frac{m + n}{( )}(m + n\neq0)$，分子乘以$m + n$，要使分式值不变，分母也乘以$m + n$，$(m - n)(m + n)=m^{2}-n^{2}$，所以分母为$m^{2}-n^{2}$；
对于$\frac{6x^{2}-2xy}{4xy}=\frac{3x - y}{( )}$，分子除以$2x$，要使分式值不变，分母也除以$2x$，$\frac{4xy}{2x}=2y$，所以分母为$2y$。
(4)
对于$\frac{x - 2y}{x + y}=\frac{x^{2}-4y}{( )}(x + 2y\neq0)$，分子乘以$x + 2y$，$x^{2}-4y=(x - 2y)(x + 2y)$，要使分式值不变，分母也乘以$x + 2y$，$(x + y)(x + 2y)=x^{2}+3xy + 2y^{2}$，所以分母为$x^{2}+3xy + 2y^{2}$；
对于$\frac{x^{2}-4y^{2}}{x^{2}+4xy + 4y^{2}}=\frac{( )}{x + 2y}$，分母除以$x + 2y$，$x^{2}+4xy + 4y^{2}=(x + 2y)^{2}$，要使分式值不变，分子也除以$x + 2y$，$\frac{x^{2}-4y^{2}}{x + 2y}=\frac{(x + 2y)(x - 2y)}{x + 2y}=x - 2y$，所以分子为$x - 2y$。
答案依次为：(1)$nk$，$a^{2}+ab$；(2)$am$，$18abc$；(3)$m^{2}-n^{2}$，$2y$；(4)$x^{2}+3xy + 2y^{2}$，$x - 2y$。
对于$\frac{m}{n}=\frac{mk}{( )}(k\neq0)$，根据分式的基本性质，分子乘以$k$，要使分式值不变，分母也乘以$k$，所以分母为$nk$；
对于$\frac{a + b}{ab}=\frac{( )}{a^{2}b}$，分母乘以$a$，要使分式值不变，分子也乘以$a$，所以分子为$a(a + b)=a^{2}+ab$。
(2)
对于$\frac{2am^{2}}{6bm}=\frac{( )}{3b}$，分母除以$2m$，要使分式值不变，分子也除以$2m$，$\frac{2am^{2}}{2m}=am$，所以分子为$am$；
对于$\frac{( )}{24a^{2}b}=\frac{3c}{4a}$，分母乘以$6ab$，要使分式值不变，分子也乘以$6ab$，$3c×6ab = 18abc$，所以分子为$18abc$。
(3)
对于$\frac{1}{m - n}=\frac{m + n}{( )}(m + n\neq0)$，分子乘以$m + n$，要使分式值不变，分母也乘以$m + n$，$(m - n)(m + n)=m^{2}-n^{2}$，所以分母为$m^{2}-n^{2}$；
对于$\frac{6x^{2}-2xy}{4xy}=\frac{3x - y}{( )}$，分子除以$2x$，要使分式值不变，分母也除以$2x$，$\frac{4xy}{2x}=2y$，所以分母为$2y$。
(4)
对于$\frac{x - 2y}{x + y}=\frac{x^{2}-4y}{( )}(x + 2y\neq0)$，分子乘以$x + 2y$，$x^{2}-4y=(x - 2y)(x + 2y)$，要使分式值不变，分母也乘以$x + 2y$，$(x + y)(x + 2y)=x^{2}+3xy + 2y^{2}$，所以分母为$x^{2}+3xy + 2y^{2}$；
对于$\frac{x^{2}-4y^{2}}{x^{2}+4xy + 4y^{2}}=\frac{( )}{x + 2y}$，分母除以$x + 2y$，$x^{2}+4xy + 4y^{2}=(x + 2y)^{2}$，要使分式值不变，分子也除以$x + 2y$，$\frac{x^{2}-4y^{2}}{x + 2y}=\frac{(x + 2y)(x - 2y)}{x + 2y}=x - 2y$，所以分子为$x - 2y$。
答案依次为：(1)$nk$，$a^{2}+ab$；(2)$am$，$18abc$；(3)$m^{2}-n^{2}$，$2y$；(4)$x^{2}+3xy + 2y^{2}$，$x - 2y$。
变式训练 填空:
(1) $\frac{m^{3}n^{2}}{mn^{3}}= \frac{(
(2) $\frac{x - 1}{x + 1}= \frac{(x - 1)^{2}}{(
(3) $\frac{4x}{x + 2y}= \frac{12x^{2}y}{(
(1) $\frac{m^{3}n^{2}}{mn^{3}}= \frac{(
$m^{2}$
)}{n}$;(2) $\frac{x - 1}{x + 1}= \frac{(x - 1)^{2}}{(
$x^{2}-1$
)}= \frac{x^{2}-1}{($(x + 1)^{2}$
)}(x≠1)$;(3) $\frac{4x}{x + 2y}= \frac{12x^{2}y}{(
$3x^{2}y + 6xy^{2}$
)}(xy≠0)$.答案
(1)
$\frac{m^{3}n^{2}}{mn^{3}}=\frac{m^{3}n^{2}÷(mn^{2})}{mn^{3}÷(mn^{2})}=\frac{m^{2}}{n}$
所以括号内应填$m^{2}$。
(2)
$\frac{x - 1}{x + 1}=\frac{(x - 1)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2}-1}$
$\frac{x - 1}{x + 1}=\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x + 1)}=\frac{x^{2}-1}{(x + 1)^{2}}$
所以第一个括号应填$(x + 1)(x - 1)$（或$x^{2}-1$），第二个括号应填$(x + 1)^{2}$。
(3)
$\frac{4x}{x + 2y}=\frac{4x×3xy}{(x + 2y)×3xy}=\frac{12x^{2}y}{3x^{2}y + 6xy^{2}}$
所以括号内应填$3x^{2}y+6xy^{2}$（或$3xy(x + 2y)$）。
$\frac{m^{3}n^{2}}{mn^{3}}=\frac{m^{3}n^{2}÷(mn^{2})}{mn^{3}÷(mn^{2})}=\frac{m^{2}}{n}$
所以括号内应填$m^{2}$。
(2)
$\frac{x - 1}{x + 1}=\frac{(x - 1)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2}-1}$
$\frac{x - 1}{x + 1}=\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x + 1)}=\frac{x^{2}-1}{(x + 1)^{2}}$
所以第一个括号应填$(x + 1)(x - 1)$（或$x^{2}-1$），第二个括号应填$(x + 1)^{2}$。
(3)
$\frac{4x}{x + 2y}=\frac{4x×3xy}{(x + 2y)×3xy}=\frac{12x^{2}y}{3x^{2}y + 6xy^{2}}$
所以括号内应填$3x^{2}y+6xy^{2}$（或$3xy(x + 2y)$）。
例 2 不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”:
(1) $\frac{mn}{-3p}$; (2) $\frac{-5a}{2b}$; (3) $\frac{-2n^{3}}{-3m}$; (4) $-\frac{(a + b)^{2}}{-3a}$.
(1) $\frac{mn}{-3p}$; (2) $\frac{-5a}{2b}$; (3) $\frac{-2n^{3}}{-3m}$; (4) $-\frac{(a + b)^{2}}{-3a}$.
答案
(1) $\frac{mn}{-3p} = -\frac{mn}{3p}$；
(2) $\frac{-5a}{2b} = -\frac{5a}{2b}$；
(3) $\frac{-2n^{3}}{-3m} = \frac{2n^{3}}{3m}$；
(4) $-\frac{(a + b)^{2}}{-3a} = \frac{(a + b)^{2}}{3a}$。
(2) $\frac{-5a}{2b} = -\frac{5a}{2b}$；
(3) $\frac{-2n^{3}}{-3m} = \frac{2n^{3}}{3m}$；
(4) $-\frac{(a + b)^{2}}{-3a} = \frac{(a + b)^{2}}{3a}$。
变式训练 不改变分式的值,使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数:
(1) $\frac{5m - 2n^{2}}{6 - n}$; (2) $\frac{2 + 3a^{2}-5b^{3}}{-3a + 1 - b^{2}}$.
(1) $\frac{5m - 2n^{2}}{6 - n}$; (2) $\frac{2 + 3a^{2}-5b^{3}}{-3a + 1 - b^{2}}$.
答案
(1)
对于分式$\frac{5m - 2n^{2}}{6 - n}$，分母$6 - n=-(n - 6)$，为了使分母最高次项系数为正，给分式分子分母同时乘以$-1$，则：
$\frac{5m - 2n^{2}}{6 - n}=\frac{-(5m - 2n^{2})}{-(6 - n)}=\frac{2n^{2}-5m}{n - 6}$
(2)
对于分式$\frac{2 + 3a^{2}-5b^{3}}{-3a + 1 - b^{2}}$，分子分母同时乘以$-1$，可得：
$\frac{-(2 + 3a^{2}-5b^{3})}{-(-3a + 1 - b^{2})}=\frac{5b^{3}-3a^{2}-2}{3a - 1 + b^{2}}$
故答案为：(1)$\frac{2n^{2}-5m}{n - 6}$；(2)$\frac{5b^{3}-3a^{2}-2}{3a - 1 + b^{2}}$。
对于分式$\frac{5m - 2n^{2}}{6 - n}$，分母$6 - n=-(n - 6)$，为了使分母最高次项系数为正，给分式分子分母同时乘以$-1$，则：
$\frac{5m - 2n^{2}}{6 - n}=\frac{-(5m - 2n^{2})}{-(6 - n)}=\frac{2n^{2}-5m}{n - 6}$
(2)
对于分式$\frac{2 + 3a^{2}-5b^{3}}{-3a + 1 - b^{2}}$，分子分母同时乘以$-1$，可得：
$\frac{-(2 + 3a^{2}-5b^{3})}{-(-3a + 1 - b^{2})}=\frac{5b^{3}-3a^{2}-2}{3a - 1 + b^{2}}$
故答案为：(1)$\frac{2n^{2}-5m}{n - 6}$；(2)$\frac{5b^{3}-3a^{2}-2}{3a - 1 + b^{2}}$。
例 3 不改变分式的值,将下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数:
(1) $\frac{2x+\frac{1}{5}y}{\frac{1}{3}x-\frac{1}{7}y}$; (2) $\frac{\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}}{0.3x-\frac{1}{2}y}$;
(3) $\frac{0.5x + 0.4y}{0.8x - 0.78y}$; (4) $\frac{0.6a+\frac{3}{4}b}{\frac{a}{2}-0.4b}$.
(1) $\frac{2x+\frac{1}{5}y}{\frac{1}{3}x-\frac{1}{7}y}$; (2) $\frac{\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}}{0.3x-\frac{1}{2}y}$;
(3) $\frac{0.5x + 0.4y}{0.8x - 0.78y}$; (4) $\frac{0.6a+\frac{3}{4}b}{\frac{a}{2}-0.4b}$.
答案
(1)
$原式=\frac{\left(2x+\frac{1}{5}y\right)× 105}{\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{7}y\right)× 105}$
$=\frac{2x× 105+\frac{1}{5}y× 105}{\frac{1}{3}x× 105-\frac{1}{7}y× 105}$
$=\frac{210x + 21y}{35x - 15y}$
(2)
$0.3=\frac{3}{10}$，对原式分子分母同时乘以 60：
$原式=\frac{\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}\right)× 60}{\left(0.3x - \frac{1}{2}y\right)× 60}$
$=\frac{\frac{1}{3}x× 60+\frac{1}{4}× 60}{0.3x× 60-\frac{1}{2}y× 60}$
$=\frac{20x + 15}{18x - 30y}$
(3)
分子分母同时乘以 100：
$原式=\frac{(0.5x + 0.4y)×100}{(0.8x - 0.78y)×100}$
$=\frac{50x + 40y}{80x - 78y}$
$=\frac{25x + 20y}{40x - 39y}$
(4)
$0.6=\frac{3}{5}$，对原式分子分母同时乘以 20：
$原式=\frac{\left(0.6a+\frac{3}{4}b\right)× 20}{\left(\frac{a}{2}-0.4b\right)× 20}$
$=\frac{0.6a× 20+\frac{3}{4}b× 20}{\frac{a}{2}× 20-0.4b× 20}$
$=\frac{12a + 15b}{10a - 8b}$
$原式=\frac{\left(2x+\frac{1}{5}y\right)× 105}{\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{7}y\right)× 105}$
$=\frac{2x× 105+\frac{1}{5}y× 105}{\frac{1}{3}x× 105-\frac{1}{7}y× 105}$
$=\frac{210x + 21y}{35x - 15y}$
(2)
$0.3=\frac{3}{10}$，对原式分子分母同时乘以 60：
$原式=\frac{\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}\right)× 60}{\left(0.3x - \frac{1}{2}y\right)× 60}$
$=\frac{\frac{1}{3}x× 60+\frac{1}{4}× 60}{0.3x× 60-\frac{1}{2}y× 60}$
$=\frac{20x + 15}{18x - 30y}$
(3)
分子分母同时乘以 100：
$原式=\frac{(0.5x + 0.4y)×100}{(0.8x - 0.78y)×100}$
$=\frac{50x + 40y}{80x - 78y}$
$=\frac{25x + 20y}{40x - 39y}$
(4)
$0.6=\frac{3}{5}$，对原式分子分母同时乘以 20：
$原式=\frac{\left(0.6a+\frac{3}{4}b\right)× 20}{\left(\frac{a}{2}-0.4b\right)× 20}$
$=\frac{0.6a× 20+\frac{3}{4}b× 20}{\frac{a}{2}× 20-0.4b× 20}$
$=\frac{12a + 15b}{10a - 8b}$
1. 下列各式从左到右的变形正确的是(
A.$\frac{a}{b}= \frac{ac}{bc}$
B.$\frac{4a + b}{6a + b}= \frac{2}{3}$
C.$\frac{ac}{bc}= \frac{a}{b}$
D.$\frac{0.5a + b}{0.2a - 0.3b}= \frac{5a + b}{2a - 3b}$
C
)A.$\frac{a}{b}= \frac{ac}{bc}$
B.$\frac{4a + b}{6a + b}= \frac{2}{3}$
C.$\frac{ac}{bc}= \frac{a}{b}$
D.$\frac{0.5a + b}{0.2a - 0.3b}= \frac{5a + b}{2a - 3b}$
答案
C
解析
A. 对于 $\frac{a}{b} = \frac{ac}{bc}$，当 $c \neq 0$ 时，该等式成立，但题目没有给出 $c \neq 0$ 的条件，因此不能确定该等式总是成立，故 A 错误；
B. 对于 $\frac{4a + b}{6a + b} = \frac{2}{3}$，显然分子分母不是倍数关系，不能直接约分为 $\frac{2}{3}$，故 B 错误；
C. 对于 $\frac{ac}{bc} = \frac{a}{b}$，当 $c \neq 0$ 时，可以约去 $c$，得到 $\frac{a}{b}$，符合分式的基本性质，故 C 正确；
D. 对于 $\frac{0.5a + b}{0.2a - 0.3b} = \frac{5a + b}{2a - 3b}$，如果将分子分母同时乘以 10，应得到 $\frac{5a + 10b}{2a - 3b}$，与给定的 $\frac{5a + b}{2a - 3b}$ 不相等，故 D 错误。
B. 对于 $\frac{4a + b}{6a + b} = \frac{2}{3}$，显然分子分母不是倍数关系，不能直接约分为 $\frac{2}{3}$，故 B 错误；
C. 对于 $\frac{ac}{bc} = \frac{a}{b}$，当 $c \neq 0$ 时，可以约去 $c$，得到 $\frac{a}{b}$，符合分式的基本性质，故 C 正确；
D. 对于 $\frac{0.5a + b}{0.2a - 0.3b} = \frac{5a + b}{2a - 3b}$，如果将分子分母同时乘以 10，应得到 $\frac{5a + 10b}{2a - 3b}$，与给定的 $\frac{5a + b}{2a - 3b}$ 不相等，故 D 错误。
2. 若 $\frac{a - 2}{a^{2}}$ 的值为正数,则一定有(
A.$a ＞ 0$
B.$a≠0$,且 $a≠2$
C.$a ＞ 2$
D.$a≠0$,且 $a ＞ 2$
D
)A.$a ＞ 0$
B.$a≠0$,且 $a≠2$
C.$a ＞ 2$
D.$a≠0$,且 $a ＞ 2$
答案
【解析】：要使分式$\frac{a - 2}{a^{2}}$的值为正数，分母$a^2$恒大于$0$（$a≠0$），则分子$a - 2$必须大于$0$，即$a - 2 ＞ 0$，解得$a ＞ 2$。综上，$a≠0$且$a ＞ 2$。
【答案】：D
【答案】：D
