巩固提升 下列式子从左到右的变形是因式分解的是()
A.$x(x + 1)= x^{2}+x$
B.$x^{2}-1= (x + 1)(x - 1)$
C.$a(x + y)= ax + ay$
D.$x^{2}-1 + y^{2}= (x - 1)(x + 1)+y^{2}$

B

因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。
选项A，是整式的乘法，不是因式分解；
选项B，把$x^{2}-1$化为$(x + 1)(x - 1)$的形式，是因式分解；
选项C，是整式的乘法，不是因式分解；
选项D，结果不是积的形式，不是因式分解。

例 2 利用提公因式法分解因式:
(1) $2a^{2}-3a^{3}$；
(2) $-16x^{2}y^{2}+12x^{3}y - 8xyz$；
(3) $12a(b - a)^{2}+18(a - b)^{3}$。

(1)
解：原式 $2a^{2} - 3a^{3} = a^{2}(2 - 3a)$。
(2)
解：原式 $-16x^{2}y^{2} + 12x^{3}y - 8xyz = -4xy(4xy - 3x^{2} + 2z)$。
(3)
解：首先，注意到 $(b - a)^{2} = (a - b)^{2}$，
所以原式 $12a(b - a)^{2} + 18(a - b)^{3} = 12a(a - b)^{2} + 18(a - b)^{3}$，
然后提取公因式 $6(a - b)^{2}$，
得到：$6(a - b)^{2}(2a + 3(a - b)) = 6(a - b)^{2}(5a - 3b)$，
即原式 $= 6(a - b)^{2}(5a - 3b)$。

巩固提升 分解因式:
(1) $4m^{2}+6m$；
(2) $a(a - b)^{2}-4a^{2}(b - a)$。

(1)
解：原式 $4m^{2} + 6m$
= $2m × 2m + 2m × 3$
= $2m(2m + 3)$
(2)
解：原式 $a(a - b)^{2} - 4a^{2}(b - a)$
由于 $b - a = -(a - b)$，所以
= $a(a - b)^{2} + 4a^{2}(a - b)$
= $a(a - b)[(a - b) + 4a]$
= $a(a - b)(5a - b)$

例 3 利用公式法分解因式:
(1) $x^{2}-\frac{1}{25}y^{2}$；
(2) $4a^{2}+12ab + 9b^{2}$；
(3) $(a + 2)^{2}-(2a - 3b)^{2}$；
(4) $(m + 2)^{2}-6(m + 2)+9$。

(1) $x^{2}-\frac{1}{25}y^{2} = x^{2} - \left(\frac{1}{5}y\right)^{2} = \left(x + \frac{1}{5}y\right)\left(x - \frac{1}{5}y\right)$
(2) $4a^{2}+12ab + 9b^{2} = (2a)^{2} + 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^{2} = (2a + 3b)^{2}$
(3) $(a + 2)^{2}-(2a - 3b)^{2} = [(a + 2) + (2a - 3b)][(a + 2) - (2a - 3b)] = (3a - 3b + 2)(-a + 3b + 2)$
(4) $(m + 2)^{2}-6(m + 2)+9 = (m + 2)^{2} - 2 \cdot (m + 2) \cdot 3 + 3^{2} = (m + 2 - 3)^{2} = (m - 1)^{2}$

巩固提升 分解因式:
(1) $16(x + y)^{2}-25(x - y)^{2}$；
(2) $16x^{4}+72x^{2}y^{2}+81y^{4}$。

1. （1）
解：
对于$16(x + y)^{2}-25(x - y)^{2}$，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = 4(x + y)$，$b = 5(x - y)$。
则$16(x + y)^{2}-25(x - y)^{2}=[4(x + y)]^{2}-[5(x - y)]^{2}$。
由平方差公式可得$[4(x + y)+5(x - y)][4(x + y)-5(x - y)]$。
去括号：
$4(x + y)+5(x - y)=4x + 4y+5x - 5y=(4x + 5x)+(4y - 5y)=9x - y$；
$4(x + y)-5(x - y)=4x + 4y-5x + 5y=(4x - 5x)+(4y + 5y)=-x + 9y$。
所以$16(x + y)^{2}-25(x - y)^{2}=(9x - y)(-x + 9y)$。
2. （2）
解：
对于$16x^{4}+72x^{2}y^{2}+81y^{4}$，根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，这里$a = 4x^{2}$，$b = 9y^{2}$。
因为$(4x^{2})^{2}=16x^{4}$，$(9y^{2})^{2}=81y^{4}$，$2×4x^{2}×9y^{2}=72x^{2}y^{2}$。
所以$16x^{4}+72x^{2}y^{2}+81y^{4}=(4x^{2}+9y^{2})^{2}$。
综上，（1）的结果为$(9x - y)(9y - x)$；（2）的结果为$(4x^{2}+9y^{2})^{2}$。

例 4 分解因式:
(1) $x^{2}(y - 3)+x(3 - y)$；
(2) $(m - 1)(m - 5)+4$；
(3) $16a^{4}-8a^{2}+1$；
(4) $3a(a - b)^{2}-6a(a - b)+3a$。

(1)
$\begin{aligned}&x^{2}(y - 3)+x(3 - y)\\=&x^{2}(y - 3)-x(y - 3)\\=&x(y - 3)(x - 1)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(m - 1)(m - 5)+4\\=&m^{2}-6m + 5+4\\=&m^{2}-6m+9\\=&(m - 3)^{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&16a^{4}-8a^{2}+1\\=&(4a^{2})^{2}-2×4a^{2}×1 + 1^{2}\\=&(4a^{2}-1)^{2}\\=&((2a)^{2}-1^{2})^{2}\\=&(2a + 1)^{2}(2a - 1)^{2}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&3a(a - b)^{2}-6a(a - b)+3a\\=&3a\left[(a - b)^{2}-2(a - b)+1\right]\\=&3a\left[(a - b)-1\right]^{2}\\=&3a(a - b - 1)^{2}\end{aligned}$

巩固提升 因式分解 $2a^{5}-2a$ = 。

$2a^{5} - 2a$
$= 2a(a^{4} - 1)$
$= 2a(a^{2} + 1)(a^{2} - 1)$
$= 2a(a^{2} + 1)(a + 1)(a - 1)$

1. 下列各式能用公式法分解因式的是()
A.$-x^{2}-y^{2}$
B.$x^{2}+y^{2}$
C.$4x^{2}+4xy - y^{2}$
D.$x^{2}-2xy + y^{2}$

D

A. 对于 $-x^{2} - y^{2}$，它没有符合任何因式分解公式的形式，故A选项错误；
B. 对于 $x^{2} + y^{2}$，它同样没有符合任何因式分解公式的形式，故B选项错误；
C. 对于 $4x^{2} + 4xy - y^{2}$，它不符合完全平方公式 $a^{2} \pm 2ab + b^{2}$ 的形式，也不符合平方差公式 $a^{2} - b^{2}$ 的形式，故C选项错误；
D. 对于 $x^{2} - 2xy + y^{2}$，它符合完全平方公式 $a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ 的形式，其中 $a = x$，$b = y$，故D选项正确。