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7. 已知代数式 $\frac{a - 3}{4} - 2$ 的值不大于代数式 $\frac{1 - a}{3} + a$ 的值,求 $a$ 的取值范围,并求出满足这一条件的最小整数。
答案
答题卡：
解：
根据题意，有
$\frac{a - 3}{4} - 2 \leq \frac{1 - a}{3} + a$
首先去分母，每一项都乘以12（4和3的最小公倍数）得：
$3(a - 3) - 24 \leq 4(1 - a) + 12a$
展开并整理得：
$3a - 9 - 24 \leq 4 - 4a + 12a$
$3a - 33 \leq 4 + 8a$
将所有项移到不等式的一侧得：
$-5a \leq 37$
除以-5并注意不等号方向变化得：
$a \geq - \frac{37}{5}$
即：
$a \geq -7.4$
由于题目要求$a$的取值范围，并求出满足这一条件的最小整数，所以最小整数解为 $a = -7$。
解：
根据题意，有
$\frac{a - 3}{4} - 2 \leq \frac{1 - a}{3} + a$
首先去分母，每一项都乘以12（4和3的最小公倍数）得：
$3(a - 3) - 24 \leq 4(1 - a) + 12a$
展开并整理得：
$3a - 9 - 24 \leq 4 - 4a + 12a$
$3a - 33 \leq 4 + 8a$
将所有项移到不等式的一侧得：
$-5a \leq 37$
除以-5并注意不等号方向变化得：
$a \geq - \frac{37}{5}$
即：
$a \geq -7.4$
由于题目要求$a$的取值范围，并求出满足这一条件的最小整数，所以最小整数解为 $a = -7$。
8. 若关于 $x$ 的不等式 $4x - 3a ＞ -1$ 与不等式 $2(x - 1) + 3 ＞ 5$ 的解集相同,则 $a$ 的值为(
A.2
B.3
C.4
D.5
B
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
B
解析
解：解不等式$2(x - 1) + 3 ＞ 5$，
$2x - 2 + 3 ＞ 5$，
$2x + 1 ＞ 5$，
$2x ＞ 4$，
$x ＞ 2$。
解不等式$4x - 3a ＞ -1$，
$4x ＞ 3a - 1$，
$x ＞ \frac{3a - 1}{4}$。
因为两不等式解集相同，所以$\frac{3a - 1}{4} = 2$，
$3a - 1 = 8$，
$3a = 9$，
$a = 3$。
B
$2x - 2 + 3 ＞ 5$，
$2x + 1 ＞ 5$，
$2x ＞ 4$，
$x ＞ 2$。
解不等式$4x - 3a ＞ -1$，
$4x ＞ 3a - 1$，
$x ＞ \frac{3a - 1}{4}$。
因为两不等式解集相同，所以$\frac{3a - 1}{4} = 2$，
$3a - 1 = 8$，
$3a = 9$，
$a = 3$。
B
9. 在实数范围内定义新运算：$a\triangle b = a · b - b + 1$,则不等式 $(x - 1)\triangle \frac{1}{3} \leq 2$ 的最大整数解为(
A.3
B.4
C.5
D.6
C
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
解析
$(x - 1)\triangle \frac{1}{3} = (x - 1) \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + 1$
$=\frac{x - 1}{3} - \frac{1}{3} + 1$
$=\frac{x - 1 - 1}{3} + 1$
$=\frac{x - 2}{3} + 1$
$=\frac{x - 2 + 3}{3}$
$=\frac{x + 1}{3}$
$\frac{x + 1}{3} \leq 2$
$x + 1 \leq 6$
$x \leq 5$
最大整数解为5，选C。
$=\frac{x - 1}{3} - \frac{1}{3} + 1$
$=\frac{x - 1 - 1}{3} + 1$
$=\frac{x - 2}{3} + 1$
$=\frac{x - 2 + 3}{3}$
$=\frac{x + 1}{3}$
$\frac{x + 1}{3} \leq 2$
$x + 1 \leq 6$
$x \leq 5$
最大整数解为5，选C。
10. 已知不等式 $\frac{x - 2}{2} \geq \frac{3}{2}a + 2(x + 1)$ 的正整数解恰好是 1,2,3,4,5,则 $a$ 的取值范围是(
A.$a ＞ -8$
B.$-8 \leq a \leq -7$
C.$-8 ＜ a \leq -7$
D.$-8 \leq a ＜ -7$
C
)A.$a ＞ -8$
B.$-8 \leq a \leq -7$
C.$-8 ＜ a \leq -7$
D.$-8 \leq a ＜ -7$
答案
C
解析
解：$\frac{x - 2}{2} \geq \frac{3}{2}a + 2(x + 1)$
两边同乘2：$x - 2 \geq 3a + 4(x + 1)$
展开：$x - 2 \geq 3a + 4x + 4$
移项：$x - 4x \geq 3a + 4 + 2$
合并同类项：$-3x \geq 3a + 6$
系数化为1：$x \leq -a - 2$
∵正整数解为1,2,3,4,5
∴$5 \leq -a - 2 ＜ 6$
解得：$-8 ＜ a \leq -7$
C
两边同乘2：$x - 2 \geq 3a + 4(x + 1)$
展开：$x - 2 \geq 3a + 4x + 4$
移项：$x - 4x \geq 3a + 4 + 2$
合并同类项：$-3x \geq 3a + 6$
系数化为1：$x \leq -a - 2$
∵正整数解为1,2,3,4,5
∴$5 \leq -a - 2 ＜ 6$
解得：$-8 ＜ a \leq -7$
C
11. 已知 $3(5x + 2) + 5 ＜ 4x - 6(x + 1)$,化简：$|3x + 1| - |1 - 3x| = $
-2
。答案
-2（按照题目要求这里填-2对应的选项，若为选择题形式且-2为选项C，则填C）
解析
解不等式$3(5x + 2) + 5 ＜ 4x - 6(x + 1)$：
$15x + 6 + 5 ＜ 4x - 6x - 6$
$15x + 11 ＜ -2x - 6$
$15x + 2x ＜ -6 - 11$
$17x ＜ -17$
$x ＜ -1$
因为$x ＜ -1$，所以$3x + 1 ＜ 0$，$1 - 3x ＞ 0$
$|3x + 1| - |1 - 3x| = -(3x + 1) - (1 - 3x) = -3x - 1 - 1 + 3x = -2$
-2
$15x + 6 + 5 ＜ 4x - 6x - 6$
$15x + 11 ＜ -2x - 6$
$15x + 2x ＜ -6 - 11$
$17x ＜ -17$
$x ＜ -1$
因为$x ＜ -1$，所以$3x + 1 ＜ 0$，$1 - 3x ＞ 0$
$|3x + 1| - |1 - 3x| = -(3x + 1) - (1 - 3x) = -3x - 1 - 1 + 3x = -2$
-2
12. 解不等式：$\frac{0.2x - 0.3}{0.2} - \frac{x + 1}{6} ＜ 1$。
答案
$\frac{0.2x - 0.3}{0.2} - \frac{x + 1}{6} \lt 1$
首先将分子和分母化为整数得：
$\frac{2x - 3}{2} - \frac{x + 1}{6} \lt 1$
找公分母，这里公分母是6，两边同时乘以6得：
$6 × \frac{2x - 3}{2} - 6 × \frac{x + 1}{6} \lt 6$
即：$3(2x - 3) - (x + 1) \lt 6$。
去括号得：
$6x - 9 - x - 1 \lt 6$。
移项、合并同类项得：
$5x \lt 16$。
系数化为1，两边同时除以5得：
$x \lt \frac{16}{5}$。
即$x\lt 3.2$。
首先将分子和分母化为整数得：
$\frac{2x - 3}{2} - \frac{x + 1}{6} \lt 1$
找公分母，这里公分母是6，两边同时乘以6得：
$6 × \frac{2x - 3}{2} - 6 × \frac{x + 1}{6} \lt 6$
即：$3(2x - 3) - (x + 1) \lt 6$。
去括号得：
$6x - 9 - x - 1 \lt 6$。
移项、合并同类项得：
$5x \lt 16$。
系数化为1，两边同时除以5得：
$x \lt \frac{16}{5}$。
即$x\lt 3.2$。
