6. 如图,△ABC 三边长分别为 AB= 3 cm,BC= 3.5 cm,CA= 2.5 cm,△DEF 三边长分别为 DE= 3.6 cm,EF= 4.2 cm,FD= 3 cm.求证:△ABC 与△DEF 相似.

解：
$\frac{AB}{DE}=\frac{3}{3.6}=\frac{5}{6}$
$\frac{BC}{EF}=\frac{3.5}{4.2}=\frac{5}{6}$
$\frac{CA}{FD}=\frac{2.5}{3}=\frac{5}{6}$
因为$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}$
根据三角形相似判定定理（三边对应成比例的两个三角形相似）
所以$\triangle ABC\sim\triangle DEF$。

7. 如图,在正方形 ABCD 中,E 为 AB 边的中点,$BC= 4BF$,那么图中与△ADE 相似的三角形有()

A.△CDF
B.△BEF
C.△BEF,△DCF
D.△BEF,△EDF

D

设正方形边长为$4a$，则$AD=AB=BC=CD=4a$。
$E$为$AB$中点，$AE=EB=2a$；$BC=4BF$，$BF=a$，$FC=3a$。
在$\triangle ADE$中，$AD=4a$，$AE=2a$，$\angle A=90^\circ$，$\frac{AE}{AD}=\frac{2a}{4a}=\frac{1}{2}$。
$\triangle BEF$中，$BE=2a$，$BF=a$，$\angle B=90^\circ$，$\frac{BF}{BE}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，且$\angle A=\angle B=90^\circ$，故$\triangle ADE \sim \triangle BEF$。
计算$DE=\sqrt{(4a)^2+(2a)^2}=2\sqrt{5}a$，$EF=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a$，$DF=\sqrt{(4a)^2+(3a)^2}=5a$。
在$\triangle EDF$中，$EF=\sqrt{5}a$，$DE=2\sqrt{5}a$，$DF=5a$，$\frac{EF}{DE}=\frac{\sqrt{5}a}{2\sqrt{5}a}=\frac{1}{2}$，$\frac{DE}{DF}=\frac{2\sqrt{5}a}{5a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{EF}{DE}=\frac{DE}{DF}$不成立，应为$\frac{EF}{AE}=\frac{\sqrt{5}a}{2a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{DE}{AD}=\frac{2\sqrt{5}a}{4a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{DF}{DE}=\frac{5a}{2\sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，故$\frac{EF}{AE}=\frac{DE}{AD}=\frac{DF}{DE}$，$\triangle ADE \sim \triangle EDF$。
D

8. 如图,在正方形网格图上有 6 个斜三角形:①△ABC,②△BCD,③△BDE,④△BFG,⑤△FGH,⑥△EFK.其中②～⑥中,与三角形①相似的是()

A.②③④
B.③④⑤
C.④⑤⑥
D.②③⑥

B

设网格中每个小正方形边长为1。
计算△ABC各边长：
AB：横向1格，纵向1格，$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
BC：横向2格，纵向0格，$BC=2$；
AC：横向1格，纵向1格，$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
△ABC三边之比为$\sqrt{2}:\sqrt{2}:2=1:1:\sqrt{2}$。
②△BCD：
BC=2，CD：横向1格，纵向1格，$CD=\sqrt{2}$，BD：横向1格，纵向1格，$BD=\sqrt{2}$。
三边之比$\sqrt{2}:\sqrt{2}:2=1:1:\sqrt{2}$。
③△BDE：
BD=$\sqrt{2}$，DE=2，BE：横向3格，纵向1格，$BE=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
三边之比$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，不相似。
④△BFG：
BF：横向2格，纵向0格，BF=2；FG：横向1格，纵向1格，$FG=\sqrt{2}$；BG：横向3格，纵向1格，$BG=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
三边之比$2:\sqrt{2}:\sqrt{10}=\sqrt{2}:1:\sqrt{5}$，不相似。
⑤△FGH：
FG=$\sqrt{2}$，GH：横向1格，纵向1格，$GH=\sqrt{2}$，FH=2。
三边之比$\sqrt{2}:\sqrt{2}:2=1:1:\sqrt{2}$。
⑥△EFK：
EF=2，FK：横向2格，纵向0格，FK=2，EK：横向2格，纵向2格，$EK=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
三边之比$2:2:2\sqrt{2}=1:1:\sqrt{2}$。
与①相似的是②⑤⑥。
B

9. 如图,点 B,D,E 在一条直线上,BE 与 AC 相交于点 F,$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{DE}= \frac{AC}{AE}$.
(1)求证:∠BAD= ∠CAE.
(2)若∠BAD= 21°,求∠EBC 的度数.
(3)连结 EC,求证:△ABD∽△ACE.

(1)证明：∵$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{DE}= \frac{AC}{AE}$，∴△ABC∽△ADE(SSS)。∴∠BAC=∠DAE。∴∠BAC - ∠DAC=∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
(2)解：∵△ABC∽△ADE，∴∠ABC=∠ADE。∵∠ADE是△ABD的外角，∴∠ADE=∠BAD + ∠ABD。又∠ABC=∠ABD + ∠EBC，∴∠ABD + ∠EBC=∠BAD + ∠ABD。∴∠EBC=∠BAD=21°。
(3)证明：∵$\frac{AB}{AD}= \frac{AC}{AE}$，∴$\frac{AB}{AC}= \frac{AD}{AE}$。又∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE(SAS)。