1. 某座桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的表达式为$ y= -\frac{1}{25}x^{2} $,当水面离桥拱顶的高度 DO 是4m时,这时水面宽度 AB 为 ()
A.-20 m
B.10 m
C.20 m
D.-10 m

C

当水面离桥拱顶的高度 $ DO = 4 \, m $ 时，水面所在位置的纵坐标 $ y = -4 $。
将 $ y = -4 $ 代入抛物线表达式 $ y = -\frac{1}{25}x^2 $，得：
$ -4 = -\frac{1}{25}x^2 $
两边同时乘以 $-25$：$ x^2 = 100 $
解得 $ x = \pm 10 $。
水面宽度 $ AB $ 为两点横坐标差的绝对值：
$ AB = |10 - (-10)| = 20 \, m $。
C

2. 为了美观,在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(如图),对应的两抛物线关于 y 轴对称,$ AE// x $轴,$ AB= 4\ cm $,最低点 C 在 x 轴上,高$ CH= 1\ cm $,$ BD= 2\ cm $,则右轮廓 DFE 所在抛物线的表达式为 ()
A.$ y= \frac{1}{4}(x+3)^{2} $
B.$ y= \frac{1}{4}(x-3)^{2} $
C.$ y= -\frac{1}{4}(x+3)^{2} $
D.$ y= -\frac{1}{4}(x-3)^{2} $

B

建立以y轴为对称轴的坐标系，因两抛物线关于y轴对称且最低点在x轴上，故右轮廓抛物线开口向上，顶点在x轴正半轴，设其表达式为$y=a(x-h)^2$（顶点$(h,0)$）。
由最低点C在x轴上，CH=1cm，知AE//x轴且AE所在直线为$y=1$。设右轮廓顶点为$(3,0)$（右轮廓在x轴正半轴），表达式为$y=a(x-3)^2$。
因AB=4cm，A、B在左轮廓抛物线上（$y=1$），左轮廓与右轮廓对称，顶点为$(-3,0)$，表达式$y=a(x+3)^2$。当$y=1$时，$1=a(x+3)^2$，解得$x=-3\pm2$，即左轮廓上点$A(-5,1)$、$B(-1,1)$，AB距离为$4cm$（符合AB=4cm）。
BD=2cm，B$(-1,1)$向右2cm得D$(1,1)$，D在右轮廓上，代入$y=a(x-3)^2$：$1=a(1-3)^2$，解得$a=\frac{1}{4}$。
故右轮廓表达式为$y=\frac{1}{4}(x-3)^2$。

3. 从喷水池喷头喷出的水珠,在空中形成一条抛物线,如图,在抛物线各个位置上,水珠的竖直高度 y(单位：m)与它距离喷头的水平距离 x(单位：m)之间满足函数表达式$ y= -2x^{2}+4x+1 $,则喷出水珠的最大高度是m.

3

对于函数$y = -2x^2 + 4x + 1$，其中$a=-2$，$b=4$，$c=1$。
因为$a=-2＜0$，所以抛物线开口向下，函数有最大值。
抛物线顶点的横坐标为$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-2)} = 1$。
将$x = 1$代入函数可得：$y=-2×1^2 + 4×1 + 1=-2 + 4 + 1=3$。
3

4. 如图,某运动员站在点 O 处推铅球时,铅球在点 A 处出手,点 A 在点 O 的正上方,以地面 OB 为 x 轴,运动员站立的位置为坐标原点,建立平面直角坐标系.已知铅球经过的路线满足抛物线$ y= -\frac{1}{10}x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{11}{10} $.(单位：m)
(1)铅球出手时的高度 OA 是多少？
(2)在铅球运动过程中,最高点到地面 OB 的距离是多少？此时铅球与运动员的水平距离为多少？

(1) 当 $x = 0$ 时，代入抛物线方程 $y = -\frac{1}{10}x^2 + \frac{3}{5}x + \frac{11}{10}$，
得 $y = \frac{11}{10} = 1.1$。
所以，铅球出手时的高度 $OA$ 是 $1.1m$。
(2) 抛物线方程 $y = -\frac{1}{10}x^2 + \frac{3}{5}x + \frac{11}{10}$ 可以改写为顶点式 $y = -\frac{1}{10}(x - 3)^2 + 2$。
由此可知，抛物线的顶点坐标为 $(3, 2)$。
因此，在铅球运动过程中，最高点到地面 $OB$ 的距离是 $2m$，此时铅球与运动员的水平距离为 $3m$。