1. 在2倍的放大镜下看Rt△ABC,锐角A的余弦值 ()
A.扩大2倍
B.∠A的余弦值没有变
C.缩小2倍
D.∠A的余弦值无法与原来的比值比较

B

在2倍放大镜下，Rt△ABC各边长度扩大2倍，但∠A大小不变。余弦值定义为邻边与斜边的比值，由于对应边比值不变，故cosA的值不变。
B

2. △ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1),AD⊥BC于点D.下列选项中,错误的是 ()
A.sinα= cosα
B.sinC= $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.sinβ= cosβ
D.tanα= 1

C

由图可知，AD=BD=2，CD=1，AC=$\sqrt{AD^2 + CD^2}=\sqrt{5}$，∠ADB=∠ADC=90°。
α在Rt△ABD中，sinα=$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosα=$\frac{BD}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，tanα=$\frac{AD}{BD}=1$，A、D正确。
β在Rt△ACD中，sinβ=$\frac{CD}{AC}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinβ≠cosβ，C错误。
sinC=sinβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（此处原解析中B选项应为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，若按题目所给B选项$\frac{2\sqrt{5}}{5}$则B正确，综合判断错误选项为C）。
C

3. 在△ABC中,∠C= 90°,AC:BC= 1:$\sqrt{3}$,则sinB的值为 ()
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

C

在△ABC中，∠C=90°，设AC=k，则BC=$\sqrt{3}k$（k＞0）。
由勾股定理得，AB=$\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{k^2 + (\sqrt{3}k)^2}=\sqrt{k^2 + 3k^2}=\sqrt{4k^2}=2k$。
sinB=$\frac{AC}{AB}=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}$。
C

4. 在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,sinB= $\frac{3}{5}$,则cosB= .

$\frac{4}{5}$

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根据三角函数的平方关系：sin²B + cos²B = 1。
已知sinB = $\frac{3}{5}$，则cos²B = 1 - sin²B = 1 - ($\frac{3}{5}$)² = 1 - $\frac{9}{25}$ = $\frac{16}{25}$。
因为∠B是直角三角形的一个锐角，所以cosB ＞ 0，故cosB = $\sqrt{\frac{16}{25}}$ = $\frac{4}{5}$。
$\frac{4}{5}$

5. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,CD⊥AB于点D.若AC= 3,BC= 4,则sin∠ACD的值为.

3/5

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD + ∠A=90°，
∵∠B + ∠A=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴sin∠ACD=sinB=$\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$。
$\frac{3}{5}$

6. 如图,在4×4的正方形网格中,顶点A在格点上,则sin∠BAC的值为.

3/5

连接BC，设每个小正方形边长为1。
由勾股定理得：
AC=$\sqrt{3^2+4^2}$=5，
BC=3，
AB=$\sqrt{3^2+4^2}$=5，
过B作BD⊥AC于D，
S$_{\triangle ABC}$=$\frac{1}{2}× AC× BD$=$\frac{1}{2}× 4× 3$=6，
则$\frac{1}{2}× 5× BD$=6，解得BD=$\frac{12}{5}$，
sin∠BAC=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\frac{12}{5}}{5}$=$\frac{12}{25}$。
1

7. 如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠DAB,已知CE= 3,BE= 4,DE= 5.
(1)求证:BE⊥CD；
(2)求sin∠DAE.

(1)见证明过程；(2)√5/5。

(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠BAE=∠AED，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE=5，
设AB=CD=x，则AB=CD=x，CE=3，
∴AB=CD=DE+CE=5+3=8，
∵AB//CD，
∴∠ABE=∠BEC，∠BAE=∠AED，
∵AD//BC，AD=BC=5，
在△BCE中，CE=3，BE=4，BC=5，
∵3²+4²=5²，
∴△BCE是直角三角形，∠BEC=90°，
∴∠ABE=∠BEC=90°，
∵AB//CD，
∴∠BEC+∠ABE=180°，
∵∠BEC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴BE⊥AB，
∵AB//CD，
∴BE⊥CD；
(2)过点D作DF⊥AE于点F，
∵AD=DE=5，
∴△ADE是等腰三角形，
∵DF⊥AE，
∴AF=EF=1/2AE，
在Rt△ABE中，AB=8，BE=4，
∴AE=√(AB²+BE²)=√(8²+4²)=√80=4√5，
∴AF=1/2AE=2√5，
在Rt△ADF中，AD=5，AF=2√5，
∴DF=√(AD²-AF²)=√(5²-(2√5)²)=√(25-20)=√5，
∴sin∠DAE=DF/AD=√5/5。