1. 如图,山顶有一座电视塔 BC,在地面上一点 A 处测得塔顶 B 的仰角α= 60°,在塔底 C 处测得点 A 的俯角β= 45°,已知塔高 BC 为 60 m,则山高 CD 等于()
A.30(1+√3) m
B.30(√3-1) m
C.30 m
D.(30√3+1) m

A

设山高$CD = x\ m$。
在$Rt\triangle ADC$中，$\angle CAD = \beta = 45^\circ$，$\tan 45^\circ=\frac{CD}{AD}=1$，则$AD = CD = x\ m$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle BAD = \alpha = 60^\circ$，$BD = BC + CD=(60 + x)\ m$，$\tan 60^\circ=\frac{BD}{AD}=\sqrt{3}$，即$\frac{60 + x}{x}=\sqrt{3}$。
解得$x=\frac{60}{\sqrt{3}-1}=30(\sqrt{3}+1)\ m$。
A

2. 如图,飞机在目标 B 的正上方 A 处,飞行员测得地面目标 C 的俯角α= 30°,如果地面目标B,C之间的距离为 6 km,那么飞机离地面的高度 AB 等于km.(结果保留根号)

2√3

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=α=30°，BC=6km，
tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$，
AB=BC·tan30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$km。
2√3

3. 如图,测角仪 CD 竖直放在距建筑物 AB 底部 5 m 的位置,在 D 处测得建筑物顶端 A 的仰角为50°.若测角仪的高度是1.1 m,则建筑物 AB 的高度约为m.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19)

7.1

过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE为矩形，BE=CD=1.1m，DE=BC=5m。在Rt△ADE中，∠ADE=50°，tan∠ADE=AE/DE，所以AE=DE·tan50°≈5×1.19=5.95m。AB=AE+BE≈5.95+1.1=7.05m≈7.1m。7.1

4. 如图,为了测量河宽 AB(假设河的两岸平行),在河的彼岸选择一点 A,在点 C 测得∠ACB 为30°,点 D 处测得∠ADB 为60°.若 CD= 60 m,则河宽 AB 为m(结果保留根号).

$30\sqrt{3}$

设河宽$AB = x$米，$BC = y$米。
在$Rt\triangle ABC$中，$\tan\angle ACB=\frac{AB}{BC}$，即$\tan30^\circ=\frac{x}{y}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{y}$，$y=\sqrt{3}x$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\tan\angle ADB=\frac{AB}{BD}$，$BD = BC - CD = y - 60$，即$\tan60^\circ=\frac{x}{y - 60}$，$\sqrt{3}=\frac{x}{y - 60}$，$y - 60=\frac{x}{\sqrt{3}}$。
将$y=\sqrt{3}x$代入$y - 60=\frac{x}{\sqrt{3}}$，得$\sqrt{3}x - 60=\frac{x}{\sqrt{3}}$。
等式两边同乘$\sqrt{3}$：$3x - 60\sqrt{3}=x$，$2x=60\sqrt{3}$，$x = 30\sqrt{3}$。
$30\sqrt{3}$

5. 如图,某兴趣小组用无人机对大楼进行测高,无人机从距离大楼 30 m(PB= 30 m)垂直起飞,飞到 A 处悬停,测得大楼底部俯角为45°,大楼顶部仰角为60°,则大楼的楼高 BC= m.(结果保留根号)

30+30√3

过点A作AD⊥BC于点D，则四边形ADBP为矩形，AD=PB=30m，BD=AP。
在Rt△ABD中，∠BAD=45°，tan∠BAD=BD/AD，BD=AD·tan45°=30×1=30m。
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，tan∠CAD=CD/AD，CD=AD·tan60°=30×√3=30√3m。
BC=BD+CD=30+30√3m。
30+30√3

6. 如图,建筑物 BC 的顶部有一个广告牌 AB,从距离建筑物 15 m 的 D 处测得广告牌的顶部 A 的仰角为39°,测得广告牌的底部 B 的仰角为30°,求广告牌 AB 的高度.(结果保留一位小数.参考数据:sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81,√3≈1.73)

在Rt△ADC中，tan∠ADC=AC/DC，∠ADC=39°，DC=15m，
AC=DC·tan39°≈15×0.81=12.15m。
在Rt△BDC中，tan∠BDC=BC/DC，∠BDC=30°，DC=15m，
BC=DC·tan30°=15×(√3/3)=5√3≈5×1.73=8.65m。
AB=AC-BC≈12.15-8.65=3.5m。
答：广告牌AB的高度约为3.5m。