4. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ \angle A = 30^{\circ} $,$ AB = 4 $,$ CD \perp AB $ 于点 $ D $,$ E $ 是 $ AB $ 的中点,则 $ DE $ 的长为()

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

A

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，所以BC=AB/2=2，∠B=60°。E是AB中点，故BE=AB/2=2，因此BE=BC=2，△BCE是等边三角形，∠BEC=60°。CD⊥AB，∠CDB=90°，所以∠BCD=30°，则BD=BC/2=1。DE=BE-BD=2-1=1。

5. 如图,$ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ \angle BAC = 120^{\circ} $,$ AB $ 的垂直平分线交 $ BC $ 于点 $ D $,垂足为点 $ E $。

(1) 求 $ \angle BAD $ 的度数；
(2) 若 $ BD = 2 cm $,试求 $ DC $ 的长度。

(1)
因为$AB = AC$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}$。
因为$DE$是$AB$的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，所以$AD = BD$，那么$\angle B=\angle BAD = 30^{\circ}$。
(2)
由(1)知$\angle BAD = 30^{\circ}$，则$\angle CAD=\angle BAC-\angle BAD = 120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$。
因为$\angle C = 30^{\circ}$，在$Rt\triangle ADC$中，根据在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半，因为$AD = BD = 2cm$，所以$DC = 2AD = 4cm$。
综上，(1) $\angle BAD$的度数为$30^{\circ}$；(2) $DC$的长度为$4cm$。

如图,点 $ O $ 是等边三角形 $ ABC $ 内一点,$ \angle AOC = 100^{\circ} $,$ \angle AOB = \alpha $。以 $ OB $ 为边作等边三角形 $ BOD $,连接 $ CD $。

(1) 求证 $ \triangle ABO \cong \triangle CBD $；
(2) 当 $ \alpha = 150^{\circ} $ 时,试判断 $ \triangle COD $ 的形状,并说明理由；
(3) 探究：当 $ \alpha $ 为多少度时,$ \triangle COD $ 是等腰三角形？

(1) 证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°。∵△BOD是等边三角形，∴OB=BD，∠OBD=60°。∴∠ABC=∠OBD=60°，∴∠ABC - ∠OBC=∠OBD - ∠OBC，即∠ABO=∠CBD。在△ABO和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}AB=BC\\ \angle ABO=\angle CBD\\ OB=BD\end{array}\right.$，∴△ABO≌△CBD(SAS)。
(2) △COD是直角三角形。理由：由(1)知△ABO≌△CBD，∴∠BDC=∠AOB=α=150°。∵△BOD是等边三角形，∴∠BDO=60°。∴∠CDO=∠BDC - ∠BDO=150° - 60°=90°，∴△COD是直角三角形。
(3) △COD是等腰三角形时，α=100°或130°或160°。
①当OC=OD时，∠ODC=∠OCD。∠ODC=α - 60°，∠OCD=40°，∴α - 60°=40°，α=100°；
②当OD=CD时，∠DOC=∠OCD。∠DOC=200° - α，∠OCD=40°，∴200° - α=40°，α=160°；
③当OC=CD时，∠ODC=∠DOC。∠ODC=α - 60°，∠DOC=200° - α，∴α - 60°=200° - α，α=130°。