7. 下列图案是由完全相同的木棒按某种规律搭成的,第(1)个图案中有 2 个正方形,第(2)个图案中有 5 个正方形,第(3)个图案中有 8 个正方形……

根据上面规律：
(1)第(5)个图案中有个正方形；
(2)第($ n $)个图案中有个正方形。

(1)14
(2)3n-1

8. 一个大长方形按如图方式分割成 12 个小长方形,且只有标为 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 的 4 个小长方形为正方形,在满足条件的所有分割中,若知道 12 个小长方形中 $ n $ 个小长方形的周长,就一定能算出这个大长方形的面积,则 $ n $ 的最小值是。

3

9. 【综合与实践】观察下列等式：
第 1 个等式：$ 1^{3}+1 - 0^{2}×2 = 1×2 $；
第 2 个等式：$ 2^{3}+1 - 1^{2}×3 = 2×3 $；
第 3 个等式：$ 3^{3}+1 - 2^{2}×4 = 3×4 $；
第 4 个等式：$ 4^{3}+1 - 3^{2}×5 = 4×5 $；
……
(1)根据等式中的规律,写出第 6 个等式：；
(2)猜想并写出第 $ n $ 个等式,并说明猜想正确。

解:
(1)6³+1-5²×7=6×7
(2)n³+1-(n-1)²(n+1)=n(n+1)。说明如下：左边=n³+1-n³+n+n²-1=n²+n，右边=n²+n。因为左边=右边，所以猜想正确。