1. 如图所示,∠A= 36°,∠DBC= 36°,∠C= 72°,则图中等腰三角形有 ()

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

D

在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，则∠ABC=180°-36°-72°=72°，∴∠ABC=∠C，故AB=AC，△ABC是等腰三角形；
在△BCD中，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠BDC=180°-36°-72°=72°，∴∠BDC=∠C，故BC=BD，△BCD是等腰三角形；
在△ABD中，∠ABC=72°，∠DBC=36°，则∠ABD=72°-36°=36°，∠A=36°，∴∠A=∠ABD，故AD=BD，△ABD是等腰三角形；
综上，图中有3个等腰三角形。

2. 如图所示,在一张长方形纸条上任意画一条截线AB,将纸条沿截线AB折叠,下列结论一定正确的是 ()

A.AB= AC
B.AC= BC
C.AB= BC
D.△ABC不是等腰三角形

B

因为纸条是长方形，所以纸条上下两边平行。折叠后，∠CAB与∠ABD（原长方形下边与AB的夹角）相等，而∠ABD与∠CBA（折叠后形成的角）是内错角，所以∠CAB=∠CBA，根据等腰三角形判定定理，等角对等边，可得AC=BC。

3. 如图所示,在△ABC中,AB= AC,∠ABC= 36°,D,E是BC上两点,且∠BAD= ∠DAE= ∠EAC. 则图中有个等腰三角形.

6

∵AB=AC，∠ABC=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠ACB=36°，∠BAC=108°。
∵∠BAD=∠DAE=∠EAC，∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°。
在△ABD中，∠ABD=∠BAD=36°，∴AD=BD，△ABD是等腰三角形。
在△AEC中，∠ACE=∠EAC=36°，∴AE=EC，△AEC是等腰三角形。
∠ADB=180°-36°-36°=108°，∴∠ADE=180°-108°=72°。
在△ADE中，∠AED=180°-36°-72°=72°，∴∠ADE=∠AED，AD=AE，△ADE是等腰三角形。
∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°，在△ABE中，∠AEB=180°-36°-72°=72°，∴∠BAE=∠AEB，AB=BE，△ABE是等腰三角形。
∠DAC=∠DAE+∠EAC=72°，在△ADC中，∠ADC=180°-72°-36°=72°，∴∠DAC=∠ADC，AC=DC，△ADC是等腰三角形。
综上，等腰三角形有△ABC，△ABD，△ABE，△ADE，△ADC，△AEC，共6个。

4. 如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,D是BC延长线上的一点,BD的垂直平分线EG交AB于点E,交BD于点G,DE交AC于点F. 求证：点E在线段AF的垂直平分线上.

证明：
∵EG是BD的垂直平分线（已知），
∴ED=EB（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴∠D=∠B（等边对等角）。
∵∠ACB=90°，D在BC延长线上（已知），
∴∠ACD=90°（平角定义）。
在Rt△DCF中，∠D+∠DFC=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠AFE=∠DFC（对顶角相等），
∴∠D+∠AFE=90°（等量代换）。
在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠D=∠B（已证），
∴∠A+∠D=90°（等量代换）。
∴∠AFE=∠A（同角的余角相等），
∴EA=EF（等角对等边）。
∴点E在线段AF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。

5. 如图所示,在△ABC中,BP平分∠ABC,点D是AB上一点,连接DP交AC于点E,连接CP,BD= PD.
(1)求证：PD//BC；
(2)若CE+DE= BD,∠A= 40°,求∠BPC的度数.

(1)见解析；(2)110°

(1)证明：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠CBP。
∵BD=PD，∴∠DBP=∠DPB。
∴∠DPB=∠CBP。
∴PD//BC（内错角相等，两直线平行）。
(2)解：∵PD//BC，∴∠PED=∠ECB（内错角相等）。
∵CE+DE=BD，BD=PD，PD=DE+EP，
∴CE+DE=DE+EP，∴CE=EP。
∴∠ECP=∠EPC，设∠ECP=∠EPC=y，则∠PED=∠ECP+∠EPC=2y（三角形外角性质）。
∴∠ECB=2y，即∠ACB=2y。
设∠PBC=x，则∠ABC=2x（BP平分∠ABC）。
在△ABC中，∠A=40°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴40°+2x+2y=180°，∴x+y=70°。
在△BPC中，∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-x-y=180°-70°=110°。

6. 如图所示,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD= BE,∠BAD= ∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.

△AFC是等腰三角形。理由如下：
在△ABD和△CBE中，
∵∠BAD=∠BCE（已知），
∠B=∠B（公共角），
BD=BE（已知），
∴△ABD≌△CBE（AAS）。
∴AB=BC（全等三角形对应边相等）。
∴∠BAC=∠BCA（等边对等角）。
∵∠BAC=∠BAD+∠FAC，∠BCA=∠BCE+∠FCA（角的和差定义），
且∠BAD=∠BCE（已知），
∴∠FAC=∠FCA（等式性质）。
∴AF=CF（等角对等边）。
∴△AFC是等腰三角形。

7. (教材题改编)如图所示,已知等腰三角形的底边长为a,顶角平分线的长为b,求作这个等腰三角形(尺规作图,保留作图痕迹).

1. 作线段BC = a；
2. 分别以B、C为圆心，大于1/2BC长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线MN，MN即为BC的垂直平分线，交BC于点D；
3. 在MN上截取DA = b（点A与BC在MN同侧）；
4. 连接AB、AC，△ABC即为所求等腰三角形。（保留作图痕迹）