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1. $\odot O的半径为5\mathrm{cm}$,$A为OP$的中点,若$OP = 6\mathrm{cm}$,则点$A与\odot O$的位置关系是(
A.点$A在\odot O$上
B.点$A在\odot O$内
C.点$A在\odot O$外
D.不能确定
B
)A.点$A在\odot O$上
B.点$A在\odot O$内
C.点$A在\odot O$外
D.不能确定
答案
B
解析
已知$\odot O$的半径$r$为$5cm$，$OP = 6cm$，$A$为$OP$的中点，则$OA=\frac{1}{2}OP$。
将$OP = 6cm$代入可得$OA=\frac{1}{2}×6 = 3cm$。
比较$OA$与$r$的大小，因为$3cm\lt 5cm$，即$OA\lt r$，所以点$A$在$\odot O$内。
将$OP = 6cm$代入可得$OA=\frac{1}{2}×6 = 3cm$。
比较$OA$与$r$的大小，因为$3cm\lt 5cm$，即$OA\lt r$，所以点$A$在$\odot O$内。
2. 以下命题：(1)同圆中等弧对等弦；(2)圆心角相等,它们所对的弧长也相等；(3)三点确定一个圆；(4)平分弦的直径必垂直于这条弦. 其中正确的命题的个数是(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
(1)同圆中等弧对等弦，正确；(2)圆心角相等，它们所对的弧长也相等，缺少“同圆或等圆”条件，错误；(3)三点确定一个圆，应是不在同一直线上的三点，错误；(4)平分弦的直径必垂直于这条弦，弦不能是直径，错误。正确命题个数为1个。
3. 如图,在半径为$5的\odot O$中,若弦$AB的长为8$,则弦心距$OC = $(
A.2
B.3
C.4
D.6
]
B
)A.2
B.3
C.4
D.6
]
答案
B
解析
连接$OA$，$OC$为弦心距，$OC\bot AB$。
根据垂径定理，$AC = \frac{1}{2}AB$，已知$AB = 8$，所以$AC=\frac{1}{2}×8 = 4$。
在$Rt\triangle AOC$中，$OA$为圆的半径，$OA = 5$，$AC = 4$。
由勾股定理$OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}$，可得$OC=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25 - 16}=\sqrt{9}=3$。
根据垂径定理，$AC = \frac{1}{2}AB$，已知$AB = 8$，所以$AC=\frac{1}{2}×8 = 4$。
在$Rt\triangle AOC$中，$OA$为圆的半径，$OA = 5$，$AC = 4$。
由勾股定理$OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}$，可得$OC=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25 - 16}=\sqrt{9}=3$。
4. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot A经过原点O$,并且分别与$x$轴,$y轴交于B$,$C$两点,已知$B(8,0)$,$C(0,6)$,则$\odot A$的半径为(
A.3
B.4
C.5
D.8
C
)A.3
B.4
C.5
D.8
答案
C
解析
连接BC，因为∠BOC=90°，所以BC为⊙A的直径。由B(8,0)，C(0,6)，得OB=8，OC=6。在Rt△BOC中，BC=√(OB²+OC²)=√(8²+6²)=10，故⊙A的半径为5。
5. 如图,在$\odot O$中,弦$AC$,$BD相交于点M$,且$\angle A= \angle B$.
(1)求证：$AC = BD$.
(2)若$OA = 2$,$\angle A = 30^{\circ}$,当$AC\perp BD$时,求$\overset{\frown}{CD}$的长.
]
(1)求证：$AC = BD$.
(2)若$OA = 2$,$\angle A = 30^{\circ}$,当$AC\perp BD$时,求$\overset{\frown}{CD}$的长.
]
答案
1. （1）证明：
连接$BC$，$AD$。
在$\odot O$中，$\angle A$和$\angle D$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，根据同弧所对的圆周角相等，所以$\angle A=\angle D$。
已知$\angle A = \angle B$，则$\angle B=\angle D$。
因为$\angle BMC=\angle AMD$（对顶角相等），且$\angle B=\angle D$，$\angle A=\angle D$，$\angle A=\angle B$。
在$\triangle BMC$和$\triangle AMD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle D\\\angle BMC=\angle AMD\\BC = AD\end{array}\right.$（同圆中，等圆周角所对的弦相等，$\angle A=\angle D$，所以$BC = AD$）。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等）可得$\triangle BMC\cong\triangle AMD$。
所以$CM = DM$，$BM = AM$。
则$CM + AM=DM + BM$，即$AC = BD$。
2. （2）解：
连接$OC$，$OD$。
因为$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle A=\angle D$（同弧所对圆周角相等），所以$\angle D = 30^{\circ}$。
又因为$AC\perp BD$，在$Rt\triangle ADM$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle AMD = 90^{\circ}$，则$\angle DAM=60^{\circ}$。
因为$OA = OC = OD = OB = 2$（半径）。
由$\angle A=\angle B = 30^{\circ}$，$\angle BOC = 2\angle A$（同弧所对圆心角是圆周角的$2$倍），$\angle AOD = 2\angle B$。
所以$\angle BOC=\angle AOD = 60^{\circ}$。
因为$\angle AOC+\angle AOD+\angle DOC+\angle BOC = 360^{\circ}$，且$\angle AOC=\angle BOD$（$AC = BD$，等弦所对圆心角相等）。
又因为$\angle AOB=\angle AOC+\angle BOC$，$\angle AOB = 120^{\circ}$（$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle AOB=180^{\circ}-(\angle OAB+\angle OBA)=120^{\circ}$）。
所以$\angle DOC = 60^{\circ}$。
根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（$n$是圆心角弧度数，$r$是半径），这里$n = 60$，$r = 2$。
则$\overset{\frown}{CD}$的长$l=\frac{60\pi×2}{180}=\frac{2\pi}{3}$。
综上，（1）得证$AC = BD$；（2）$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{2\pi}{3}$。
连接$BC$，$AD$。
在$\odot O$中，$\angle A$和$\angle D$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，根据同弧所对的圆周角相等，所以$\angle A=\angle D$。
已知$\angle A = \angle B$，则$\angle B=\angle D$。
因为$\angle BMC=\angle AMD$（对顶角相等），且$\angle B=\angle D$，$\angle A=\angle D$，$\angle A=\angle B$。
在$\triangle BMC$和$\triangle AMD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle D\\\angle BMC=\angle AMD\\BC = AD\end{array}\right.$（同圆中，等圆周角所对的弦相等，$\angle A=\angle D$，所以$BC = AD$）。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等）可得$\triangle BMC\cong\triangle AMD$。
所以$CM = DM$，$BM = AM$。
则$CM + AM=DM + BM$，即$AC = BD$。
2. （2）解：
连接$OC$，$OD$。
因为$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle A=\angle D$（同弧所对圆周角相等），所以$\angle D = 30^{\circ}$。
又因为$AC\perp BD$，在$Rt\triangle ADM$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle AMD = 90^{\circ}$，则$\angle DAM=60^{\circ}$。
因为$OA = OC = OD = OB = 2$（半径）。
由$\angle A=\angle B = 30^{\circ}$，$\angle BOC = 2\angle A$（同弧所对圆心角是圆周角的$2$倍），$\angle AOD = 2\angle B$。
所以$\angle BOC=\angle AOD = 60^{\circ}$。
因为$\angle AOC+\angle AOD+\angle DOC+\angle BOC = 360^{\circ}$，且$\angle AOC=\angle BOD$（$AC = BD$，等弦所对圆心角相等）。
又因为$\angle AOB=\angle AOC+\angle BOC$，$\angle AOB = 120^{\circ}$（$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle AOB=180^{\circ}-(\angle OAB+\angle OBA)=120^{\circ}$）。
所以$\angle DOC = 60^{\circ}$。
根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（$n$是圆心角弧度数，$r$是半径），这里$n = 60$，$r = 2$。
则$\overset{\frown}{CD}$的长$l=\frac{60\pi×2}{180}=\frac{2\pi}{3}$。
综上，（1）得证$AC = BD$；（2）$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{2\pi}{3}$。
解析
(1)证明：
∵∠A与∠B是⊙O的圆周角，∠A对弧BD，∠B对弧AC，
又
∵∠A=∠B，
∴弧BD=弧AC（在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等），
∴AC=BD（等弧所对的弦相等）。
(2)解：
∵∠A=30°，∠A为圆周角且对弧BD，
∴弧BD的度数=2∠A=60°，
由
(1)得弧AC=弧BD=60°。
设AC与BD交于点M，
∵AC⊥BD，
∴∠AMB=90°，
根据圆内相交弦夹角定理：∠AMB=1/2(弧AB + 弧CD)，
∴90°=1/2(弧AB + 弧CD)，即弧AB + 弧CD=180°。
∵整个圆的度数为360°，
∴弧AC + 弧BD + 弧AB + 弧CD=360°，
又弧AC=弧BD=60°，
∴60°+60°+180°=300°，
则剩余弧AD + 弧BC=360°-300°=60°。
∵∠A=∠B=30°，∠A对弧BD=60°，∠B对弧AC=60°，
可得弧AD=弧BC=30°，
∴弧CD=180°-弧AB=180°-(弧AC - 弧BC)=180°-(60°-30°)=150°？（修正：正确计算应为弧CD=180°-弧AB，弧AB=弧AC - 弧BC=60°-30°=30°，故弧CD=150°错误）
重新计算：设弧CD=x，弧AB=180°-x，
弧AC=弧AB + 弧BC=60°⇒弧BC=60°-(180°-x)=x-120°，
弧BD=弧BC + 弧CD=60°⇒(x-120°)+x=60°⇒2x=180°⇒x=90°，
∴弧CD=90°，
弧长=90π×2/180=π。
（最终修正后正确步骤）
(2)解：
∵∠A=30°，∠A对弧BD，
∴弧BD=2×30°=60°，故弧AC=弧BD=60°。
AC⊥BD交于M，∠AMB=90°，则弧AB + 弧CD=2×90°=180°。
设弧CD=x，弧AB=180°-x，
弧AC=弧AB + 弧BC=60°⇒弧BC=60°-(180°-x)=x-120°，
弧BD=弧BC + 弧CD=60°⇒(x-120°)+x=60°⇒x=90°，
∴弧CD=90°，弧长=90π×2/180=π。
