1. 12 的因数：( )
30 的因数：( )
12 和 30 的公因数：( )
12 和 30 的最大公因数：( )

1,2,3,4,6,12；1,2,3,5,6,10,15,30；1,2,3,6；6

12的因数：1,2,3,4,6,12；30的因数：1,2,3,5,6,10,15,30；12和30的公因数：1,2,3,6；12和30的最大公因数：6

2. $ a = 2 × 3 × 7 $，$ b = 2 × 3 × 11 $，$ c = 2 × 3 × 13 $，这三个数的公因数有()，最大公因数是()。

这三个数的公因数有$1,2,3,6$，最大公因数是$6$（按照题目要求形式，第一空答案依次为1,2,3,6 ；第二空答案为6）。

根据$a=2×3×7$，$b = 2×3×11$，$c=2×3×13$，公因数是它们公有的质因数以及质因数相乘的积。
公有的质因数为$2$和$3$，$2$的因数有$1,2$；$3$的因数有$1,3$；$2×3 = 6$，$1$也是公因数。
所以公因数有$1,2,3,6$。
最大公因数就是公有的质因数的乘积，即$2×3=6$。

3. 125 是 5 的倍数，125 和 5 的最大公因数是()。

5

因为125是5的倍数，当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数。所以125和5的最大公因数是5。

1.
30 和 54 的最大公因数是______。

$6$

分别列出$30$的因数：$1,2,3,5,6,10,15,30$；$54$的因数：$1,2,3,6,9,18,27,54$。然后找出它们共有的因数，即公因数有$1,2,3,6$，其中最大公因数是$6$的（也可使用分解质因数的方法，$30 = 2×3×5$，$54 = 2×3×3×3$，公有的质因数是$2$和$3$，所以最大公因数为$2×3 = 6$）。

2.
42 和 54 的最大公因数是______。

6

分别列出42和54的因数，42的因数有1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42；54的因数有1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54。两个数的公因数有1, 2, 3, 6，所以最大公因数是6。
也可以使用分解质因数的方法，$42=2×3×7$，$54 = 2×3×3×3$，所以42和54的最大公因数是$2×3=6$。

三、写出下列分数的分子和分母的最大公因数。
$ \frac{6}{15} $（） $ \frac{7}{28} $（） $ \frac{8}{20} $（）
$ \frac{10}{24} $（） $ \frac{13}{16} $（） $ \frac{16}{18} $（）

3，7，4，2，1，2

1. 对于$\frac{6}{15}$：
6的因数有1, 2, 3, 6；
15的因数有1, 3, 5, 15；
6和15的公因数是1, 3，最大公因数是3。
2. 对于$\frac{7}{28}$：
7的因数有1, 7；
28的因数有1, 2, 4, 7, 14, 28；
7和28的公因数是1, 7，最大公因数是7。
3. 对于$\frac{8}{20}$：
8的因数有1, 2, 4, 8；
20的因数有1, 2, 4, 5, 10, 20；
8和20的公因数是1, 2, 4，最大公因数是4。
4. 对于$\frac{10}{24}$：
10的因数有1, 2, 5, 10；
24的因数有1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24；
10和24的公因数是1, 2，最大公因数是2。
5. 对于$\frac{13}{16}$：
13的因数有1, 13；
16的因数有1, 2, 4, 8, 16；
13和16的公因数是1，最大公因数是1。
6. 对于$\frac{16}{18}$：
16的因数有1, 2, 4, 8, 16；
18的因数有1, 2, 3, 6, 9, 18；
16和18的公因数是1, 2，最大公因数是2。

四、把下列各组数的最大公因数填在相应的括号里，再写写你的发现。
1. 8 和 16（） 21 和 7（）
5 和 15（） 32 和 4（）
我发现：两个数是倍数的关系，它们的最大公因数是（）。
2. 5 和 6（） 8 和 9（）
13 和 14（） 11 和 10（）
我发现：两个相邻的非零自然数，它们的最大公因数是（）。
3. 2 和 5（） 7 和 11（）
11 和 17（） 13 和 17（）
我发现：两个数都是质数，它们的最大公因数是（）。

1. $8$，$7$，$5$，$4$；较小数
2. $1$，$1$，$1$，$1$；$1$
3. $1$，$1$，$1$，$1$；$1$

1.
$8$和$16$：$8$的因数有$1,2,4,8$；$16$的因数有$1,2,4,8,16$，所以$8$和$16$的最大公因数是$8$。
$21$和$7$：$21$的因数有$1,3,7,21$；$7$的因数有$1,7$，所以$21$和$7$的最大公因数是$7$。
$5$和$15$：$5$的因数有$1,5$；$15$的因数有$1,3,5,15$，所以$5$和$15$的最大公因数是$5$。
$32$和$4$：$32$的因数有$1,2,4,8,16,32$；$4$的因数有$1,2,4$，所以$32$和$4$的最大公因数是$4$。
发现：两个数是倍数的关系，它们的最大公因数是较小数。
2.
$5$和$6$：$5$的因数有$1,5$；$6$的因数有$1,2,3,6$，所以$5$和$6$的最大公因数是$1$。
$8$和$9$：$8$的因数有$1,2,4,8$；$9$的因数有$1,3,9$，所以$8$和$9$的最大公因数是$1$。
$13$和$14$：$13$的因数有$1,13$；$14$的因数有$1,2,7,14$，所以$13$和$14$的最大公因数是$1$。
$11$和$10$：$11$的因数有$1,11$；$10$的因数有$1,2,5,10$，所以$11$和$10$的最大公因数是$1$。
发现：两个相邻的非零自然数，它们的最大公因数是$1$。
3.
$2$和$5$：$2$的因数有$1,2$；$5$的因数有$1,5$，所以$2$和$5$的最大公因数是$1$。
$7$和$11$：$7$的因数有$1,7$；$11$的因数有$1,11$，所以$7$和$11$的最大公因数是$1$。
$11$和$17$：$11$的因数有$1,11$；$17$的因数有$1,17$，所以$11$和$17$的最大公因数是$1$。
$13$和$17$：$13$的因数有$1,13$；$17$的因数有$1,17$，所以$13$和$17$的最大公因数是$1$。
发现：两个数都是质数，它们的最大公因数是$1$。

五、解决问题。
同学们去游乐园游玩，把 42 瓶矿泉水和 30 瓶橙汁平均分给几个小组正好分完，最多可以分给几个小组？每个小组分得矿泉水和橙汁各多少瓶？

求最多可以分给几个小组，即求42和30的最大公因数。
用列举法求42和30的因数：
42的因数：1，2，3，6，7，14，21，42
30的因数：1，2，3，5，6，10，15，30
42和30的公因数：1，2，3，6
最大公因数是6。
每个小组分得矿泉水：42÷6=7（瓶）
每个小组分得橙汁：30÷6=5（瓶）
最多可以分给6个小组，每个小组分得矿泉水7瓶，橙汁5瓶。

六、快乐提升。
把一张长 24 cm，宽 18 cm 的长方形纸剪成边长是整厘米的正方形纸且没有剩余，有几种剪法？分别能剪几个正方形？

答：
首先求 24 和 18 的公因数，24 的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；18 的因数有：1、2、3、6、9、18，所以 24 和 18 的公因数有 1、2、3、6。
剪法如下：
当正方形边长为 1cm 时，能剪的个数为：$(24÷1)×(18÷1)=432$（个）；
当正方形边长为 2cm 时，能剪的个数为：$(24÷2)×(18÷2)=108$（个）；
当正方形边长为 3cm 时，能剪的个数为：$(24÷3)×(18÷3)=48$（个）；
当正方形边长为 6cm 时，能剪的个数为：$(24÷6)×(18÷6)=12$（个）。
所以有 4 种剪法，边长为 1cm 时能剪 432 个，边长为 2cm 时能剪 108 个，边长为 3cm 时能剪 48 个，边长为 6cm 时能剪 12 个。