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【例题】计算：
(1)$2\sin 30^{\circ }+3\tan 30^{\circ }+\frac {\cos 45^{\circ }}{\tan 60^{\circ }}$；
(2)$\cos ^{2}45^{\circ }+\cos 30^{\circ }\cdot \tan 45^{\circ }+\sin ^{2}60^{\circ }$；
(3)$(\frac {1}{2})^{-3}\cdot \sin ^{2}30^{\circ }-\sqrt {(-\cos 30^{\circ })^{2}}-\frac {2\tan 60^{\circ }}{\sqrt {3}}$.
【思路点拨】记住特殊角的三角函数值,直接把特殊角的三角函数值代入计算,在计算时要注意运算顺序,最后结果不取近似值.
【解答】______
(1)$2\sin 30^{\circ }+3\tan 30^{\circ }+\frac {\cos 45^{\circ }}{\tan 60^{\circ }}$；
(2)$\cos ^{2}45^{\circ }+\cos 30^{\circ }\cdot \tan 45^{\circ }+\sin ^{2}60^{\circ }$；
(3)$(\frac {1}{2})^{-3}\cdot \sin ^{2}30^{\circ }-\sqrt {(-\cos 30^{\circ })^{2}}-\frac {2\tan 60^{\circ }}{\sqrt {3}}$.
【思路点拨】记住特殊角的三角函数值,直接把特殊角的三角函数值代入计算,在计算时要注意运算顺序,最后结果不取近似值.
【解答】______
答案
(1) $1 + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}}{6}$
(2) $\frac{5 + 2\sqrt{3}}{4}$
(3) $- \frac{\sqrt{3}}{2}$
(2) $\frac{5 + 2\sqrt{3}}{4}$
(3) $- \frac{\sqrt{3}}{2}$
解析
(1)
首先，我们需要知道几个特殊角的三角函数值：
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$
代入给定的表达式得：
$2\sin 30^{\circ} + 3\tan 30^{\circ} + \frac{\cos 45^{\circ}}{\tan 60^{\circ}}$
$= 2 × \frac{1}{2} + 3 × \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}$
$= 1 + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}}{6}$
(2)
同样，利用特殊角的三角函数值：
$\cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan 45^{\circ} = 1$
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
代入给定的表达式得：
$\cos^{2}45^{\circ} + \cos 30^{\circ} \cdot \tan 45^{\circ} + \sin^{2}60^{\circ}$
$= {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} × 1 + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$
$= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{4}$
$= \frac{5 + 2\sqrt{3}}{4}$
(3)
利用特殊角的三角函数值和负整数指数幂的运算法则：
$(\frac{1}{2})^{-3} = 2^{3} = 8$
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$
代入给定的表达式得：
$(\frac{1}{2})^{-3} \cdot \sin^{2}30^{\circ} - \sqrt{(-\cos 30^{\circ})^{2}} - \frac{2\tan 60^{\circ}}{\sqrt{3}}$
$= 8 × {(\frac{1}{2})}^{2} - \sqrt{{(\frac{-\sqrt{3}}{2})}^{2}} - \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$= 8 × \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2$
$= 2 - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2$
$= - \frac{\sqrt{3}}{2}$
首先，我们需要知道几个特殊角的三角函数值：
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$
代入给定的表达式得：
$2\sin 30^{\circ} + 3\tan 30^{\circ} + \frac{\cos 45^{\circ}}{\tan 60^{\circ}}$
$= 2 × \frac{1}{2} + 3 × \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}$
$= 1 + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}}{6}$
(2)
同样，利用特殊角的三角函数值：
$\cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan 45^{\circ} = 1$
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
代入给定的表达式得：
$\cos^{2}45^{\circ} + \cos 30^{\circ} \cdot \tan 45^{\circ} + \sin^{2}60^{\circ}$
$= {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} × 1 + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$
$= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{4}$
$= \frac{5 + 2\sqrt{3}}{4}$
(3)
利用特殊角的三角函数值和负整数指数幂的运算法则：
$(\frac{1}{2})^{-3} = 2^{3} = 8$
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$
代入给定的表达式得：
$(\frac{1}{2})^{-3} \cdot \sin^{2}30^{\circ} - \sqrt{(-\cos 30^{\circ})^{2}} - \frac{2\tan 60^{\circ}}{\sqrt{3}}$
$= 8 × {(\frac{1}{2})}^{2} - \sqrt{{(\frac{-\sqrt{3}}{2})}^{2}} - \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$= 8 × \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2$
$= 2 - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2$
$= - \frac{\sqrt{3}}{2}$
1. 等腰三角形一腰上的高与底边长之比为$1:2$,则等腰三角形的顶角的度数为(
A.$30^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$120^{\circ }$
D.$30^{\circ }或150^{\circ }$
C
)A.$30^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$120^{\circ }$
D.$30^{\circ }或150^{\circ }$
答案
C
2. 如图,在$\triangle ABC$中,若$\angle A= 30^{\circ }$,$\tan B= \frac {\sqrt {3}}{2}$,$AC= 2\sqrt {3}$,则$AB$等于(
A.4
B.5
C.6
D.7
B
)A.4
B.5
C.6
D.7
答案
B
解析
过点$C$作$CD\perp AB$于点$D$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$AC = 2\sqrt{3}$。
因为$\sin A=\frac{CD}{AC}$，$\cos A=\frac{AD}{AC}$，$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$CD = AC×\sin A=2\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\sqrt{3}$，$AD = AC×\cos A=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$。
在$Rt\triangle BCD$中，$\tan B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan B = \frac{CD}{BD}$，$CD=\sqrt{3}$，所以$BD=\frac{CD}{\tan B}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$。
则$AB=AD + BD=3 + 2=5$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$AC = 2\sqrt{3}$。
因为$\sin A=\frac{CD}{AC}$，$\cos A=\frac{AD}{AC}$，$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$CD = AC×\sin A=2\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\sqrt{3}$，$AD = AC×\cos A=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$。
在$Rt\triangle BCD$中，$\tan B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan B = \frac{CD}{BD}$，$CD=\sqrt{3}$，所以$BD=\frac{CD}{\tan B}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$。
则$AB=AD + BD=3 + 2=5$。
3. 若$\alpha $是锐角,且$\cos \alpha =\frac {2}{3}$,则$\sin(90^{\circ }-\alpha )$的值为(
A.$\frac {1}{2}$
B.$\frac {1}{3}$
C.$\frac {3}{2}$
D.$\frac {2}{3}$
D
)A.$\frac {1}{2}$
B.$\frac {1}{3}$
C.$\frac {3}{2}$
D.$\frac {2}{3}$
答案
答题卡填入：
解：
根据三角函数的互余角关系，我们有
$\sin(90^{\circ} - \alpha) = \cos\alpha$
题目已给出 $\cos\alpha = \frac{2}{3}$，
所以，$\sin(90^{\circ} - \alpha) = \frac{2}{3}$。
故答案为：D. $\frac{2}{3}$。
解：
根据三角函数的互余角关系，我们有
$\sin(90^{\circ} - \alpha) = \cos\alpha$
题目已给出 $\cos\alpha = \frac{2}{3}$，
所以，$\sin(90^{\circ} - \alpha) = \frac{2}{3}$。
故答案为：D. $\frac{2}{3}$。
4. 计算:$\frac {3\tan 30^{\circ }-\tan 45^{\circ }}{2\cos 30^{\circ }+1}=$
$2 - \sqrt{3}$
.答案
$2 - \sqrt{3}$
解析
首先，我们需要知道特殊角的三角函数值：
$\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\tan 45^{\circ} = 1$，
$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
代入原式，我们得到：
$\frac{3\tan 30^{\circ} - \tan 45^{\circ}}{2\cos 30^{\circ} + 1}$
$= \frac{3 × \frac{\sqrt{3}}{3} - 1}{2 × \frac{\sqrt{3}}{2} + 1}$
$= \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$
为了消去分母中的根号，我们可以使用有理化分母的方法，即分子分母同时乘以分母的共轭式：
$= \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$
$= \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1}$
$= \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}$
$= 2 - \sqrt{3}$
$\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\tan 45^{\circ} = 1$，
$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
代入原式，我们得到：
$\frac{3\tan 30^{\circ} - \tan 45^{\circ}}{2\cos 30^{\circ} + 1}$
$= \frac{3 × \frac{\sqrt{3}}{3} - 1}{2 × \frac{\sqrt{3}}{2} + 1}$
$= \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$
为了消去分母中的根号，我们可以使用有理化分母的方法，即分子分母同时乘以分母的共轭式：
$= \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$
$= \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1}$
$= \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}$
$= 2 - \sqrt{3}$
5. 计算下列各题:
(1)$\sin 30^{\circ }+\sin 45^{\circ }\cdot \cos 30^{\circ }-\sin 60^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }$；
(2)$2\cos 45^{\circ }+\sin 30^{\circ }\cdot \cos 60^{\circ }+\sqrt {3}\cos 30^{\circ }$.
(1)$\sin 30^{\circ }+\sin 45^{\circ }\cdot \cos 30^{\circ }-\sin 60^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }$；
(2)$2\cos 45^{\circ }+\sin 30^{\circ }\cdot \cos 60^{\circ }+\sqrt {3}\cos 30^{\circ }$.
答案
(1)$\frac{1}{2}$
(2)$\sqrt{2} + \frac{7}{4}$
(2)$\sqrt{2} + \frac{7}{4}$
解析
(1)
首先，根据特殊角的三角函数值表，我们有：
$\sin 30^{\circ } = \frac{1}{2}$，
$\sin 45^{\circ } = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\cos 30^{\circ } = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\sin 60^{\circ } = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\cos 45^{\circ } = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
代入原式，我们得到：
$\sin 30^{\circ }+\sin 45^{\circ }\cdot \cos 30^{\circ }-\sin 60^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }$
$= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}$
$= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$
$= \frac{1}{2}$。
(2)
同样，根据特殊角的三角函数值表，我们有：
$\cos 45^{\circ } = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\sin 30^{\circ } = \frac{1}{2}$，
$\cos 60^{\circ } = \frac{1}{2}$，
$\cos 30^{\circ } = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
代入原式，我们得到：
$2\cos 45^{\circ }+\sin 30^{\circ }\cdot \cos 60^{\circ }+\sqrt {3}\cos 30^{\circ }$
$= 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} × \frac{1}{2} + \sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= \sqrt{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{2}$
$= \sqrt{2} + \frac{7}{4}$。
首先，根据特殊角的三角函数值表，我们有：
$\sin 30^{\circ } = \frac{1}{2}$，
$\sin 45^{\circ } = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\cos 30^{\circ } = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\sin 60^{\circ } = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\cos 45^{\circ } = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
代入原式，我们得到：
$\sin 30^{\circ }+\sin 45^{\circ }\cdot \cos 30^{\circ }-\sin 60^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }$
$= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}$
$= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$
$= \frac{1}{2}$。
(2)
同样，根据特殊角的三角函数值表，我们有：
$\cos 45^{\circ } = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\sin 30^{\circ } = \frac{1}{2}$，
$\cos 60^{\circ } = \frac{1}{2}$，
$\cos 30^{\circ } = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
代入原式，我们得到：
$2\cos 45^{\circ }+\sin 30^{\circ }\cdot \cos 60^{\circ }+\sqrt {3}\cos 30^{\circ }$
$= 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} × \frac{1}{2} + \sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= \sqrt{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{2}$
$= \sqrt{2} + \frac{7}{4}$。
