19. 如图,某建筑物$CD高96\ m$,它的前面有一座小山,其斜坡$AB的坡度i= 1:1$.为了测量山顶$A$的高度,在建筑物顶端$D处测得山顶A和山脚B的俯角分别为\alpha$,$\beta$.已知$\tan\alpha=2$,$\tan\beta=4$,求山顶$A的高度AE$($C$,$B$,$E$在同一水平面上).

16

设山顶$ A $的高度$ AE = h $。
因为斜坡$ AB $的坡度$ i = 1:1 $，所以斜坡的垂直高度与水平宽度之比为$ 1:1 $，即$ AE = EB = h $。
设$ BC = x $，由于$ C $、$ B $、$ E $在同一水平面上，故$ EC = EB + BC = h + x $。
在$ Rt\triangle DBC $中，$ \tan\beta = \frac{CD}{BC} $，已知$ CD = 96 \, m $，$ \tan\beta = 4 $，则：
$ 4 = \frac{96}{BC} \implies BC = \frac{96}{4} = 24 \, m $
即$ x = 24 \, m $，故$ EC = h + 24 $。
在$ Rt\triangle AFD $（$ F $为过$ D $的水平线与$ AE $延长线的交点）中，$ \tan\alpha = \frac{CD - AE}{EC} $，已知$ \tan\alpha = 2 $，则：
$ 2 = \frac{96 - h}{h + 24} $
解得：
$ 2(h + 24) = 96 - h \implies 2h + 48 = 96 - h \implies 3h = 48 \implies h = 16 $

20. “一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点.如图,某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的$A$处测得“香顶”$N的仰角为45^\circ$,此时,他们刚好与“香底”$D$在同一水平线上,然后沿着坡度为$30^\circ$的斜坡正对着“一炷香”前行$110\ m$,到达$B$处,测得“香顶”$N的仰角为60^\circ$,根据以上条件求出“一炷香”的高度(测角器的高度忽略不计,结果精确到$1\ m$,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.414$,$\sqrt{3}\approx1.732$).

150

设“一炷香”的高度为$ h $米，香底为$ D $，香顶为$ N $，则$ ND = h $。
步骤1：在$ Rt\triangle AND $中
$ \angle NAD = 45^\circ $（仰角），$ AD $为水平距离。
因为$ \tan 45^\circ = \frac{ND}{AD} = 1 $，所以$ AD = ND = h $。
步骤2：在斜坡$ AB $中
从$ A $沿坡度$ 30^\circ $的斜坡前行$ 110\ m $至$ B $。
过$ B $作$ BC \perp AD $于$ C $，则$ \angle BAC = 30^\circ $，$ AB = 110\ m $。
在$ Rt\triangle ABC $中：
$ BC = AB \cdot \sin 30^\circ = 110 × \frac{1}{2} = 55\ m $（$ B $点垂直高度），
$ AC = AB \cdot \cos 30^\circ = 110 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 55\sqrt{3}\ m $（$ A $到$ C $的水平距离）。
步骤3：在$ Rt\triangle BEN $中
过$ B $作水平线交$ ND $于$ E $，则$ BE = CD = AD - AC = h - 55\sqrt{3} $（水平距离），
$ NE = ND - BC = h - 55 $（竖直距离）。
在$ B $处仰角$ 60^\circ $，即$ \tan 60^\circ = \frac{NE}{BE} $。
因为$ \tan 60^\circ = \sqrt{3} $，所以：
$ \sqrt{3} = \frac{h - 55}{h - 55\sqrt{3}} $
步骤4：解方程求$ h $
$ \sqrt{3}(h - 55\sqrt{3}) = h - 55 $
$ \sqrt{3}h - 55 × 3 = h - 55 $
$ (\sqrt{3} - 1)h = 110 $
$ h = \frac{110}{\sqrt{3} - 1} = 55(\sqrt{3} + 1) \approx 55 × (1.732 + 1) \approx 150 $