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2. 将多项式 $ 1-4x^{2} $ 分解因式,正确的是(
A.$ (2x+1)(2x-1) $
B.$ (1-2x)(1+2x) $
C.$ (1+2x)(2x-1) $
D.$ (1+4x)(1-4x) $
B
)A.$ (2x+1)(2x-1) $
B.$ (1-2x)(1+2x) $
C.$ (1+2x)(2x-1) $
D.$ (1+4x)(1-4x) $
答案
B
解析
原式 $1 - 4x^2$ 可看作 $1^2 - (2x)^2$，根据平方差公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，得 $1^2 - (2x)^2 = (1 - 2x)(1 + 2x)$。
3. 若 $ k $ 为任意整数,则 $ (2k+3)^{2}-4k^{2} $ 的值总能(
A.被 $ 2 $ 整除
B.被 $ 3 $ 整除
C.被 $ 5 $ 整除
D.被 $ 7 $ 整除
B
)A.被 $ 2 $ 整除
B.被 $ 3 $ 整除
C.被 $ 5 $ 整除
D.被 $ 7 $ 整除
答案
B
解析
原式$(2k + 3)^{2}-4k^{2}$，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = 2k+3$，$b = 2k$，则有：
$(2k + 3)^{2}-4k^{2}=(2k + 3+2k)(2k + 3 - 2k)=(4k + 3)×3=3(4k + 3)$。
因为$k$为任意整数，所以$3(4k + 3)$总能被$3$整除。
$(2k + 3)^{2}-4k^{2}=(2k + 3+2k)(2k + 3 - 2k)=(4k + 3)×3=3(4k + 3)$。
因为$k$为任意整数，所以$3(4k + 3)$总能被$3$整除。
4. 若多项式 $ 4a^{2}+M $ 能用平方差公式分解因式,则单项式 $ M= $
$-1$
(写一个即可)。答案
$-1$
解析
$-b^{2}$
5. (2024·甘肃临夏州中考)分解因式：$ x^{2}-\frac{1}{4}= $
$\left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right)$
。答案
$\left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right)$
解析
原式可以看作是 $x^{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^{2}$，根据平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$，代入 $a = x$ 和 $b = \frac{1}{2}$，得到：
$x^{2} - \frac{1}{4} = \left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right)$
$x^{2} - \frac{1}{4} = \left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right)$
6. 若 $ a+b= 2 $,则 $ a^{2}-b^{2}+4b $ 的值是
4
。答案
4
解析
根据平方差公式 $ a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b) $，将 $ a^{2} - b^{2} + 4b $ 变形为：
$a^{2} - b^{2} + 4b = (a + b)(a - b) + 4b$，
由题目已知 $ a + b = 2 $，代入上式得：
$2(a - b) + 4b = 2a - 2b + 4b = 2a + 2b = 2(a + b) = 2 × 2 = 4$。
$a^{2} - b^{2} + 4b = (a + b)(a - b) + 4b$，
由题目已知 $ a + b = 2 $，代入上式得：
$2(a - b) + 4b = 2a - 2b + 4b = 2a + 2b = 2(a + b) = 2 × 2 = 4$。
7. 利用因式分解简便运算：
(1) $ 1001^{2}-999^{2} $；(2) $ 999^{2}-1 $。
(1) $ 1001^{2}-999^{2} $；(2) $ 999^{2}-1 $。
答案
(1) $1001^{2}-999^{2}$
$=(1001+999)(1001-999)$
$=2000×2$
$=4000$
(2) $999^{2}-1$
$=999^{2}-1^{2}$
$=(999+1)(999-1)$
$=1000×998$
$=998000$
$=(1001+999)(1001-999)$
$=2000×2$
$=4000$
(2) $999^{2}-1$
$=999^{2}-1^{2}$
$=(999+1)(999-1)$
$=1000×998$
$=998000$
8. 若 $ a,b,c $ 是 $ \triangle ABC $ 的三边长,则 $ a^{2}-(b-c)^{2} $ 的结果(
A.大于零
B.等于零
C.小于零
D.不确定
A
)A.大于零
B.等于零
C.小于零
D.不确定
答案
A
解析
利用平方差公式 $a^2 - (b-c)^2 = (a + b - c)(a - b + c)$。
由于 $a, b, c$ 是三角形的三边长，根据三角形三边关系有：
$a + b - c ＞ 0$（因为 $a + b ＞ c$），
$a - b + c ＞ 0$（因为 $a + c ＞ b$）。
因此，$(a + b - c)(a - b + c) ＞ 0$，即 $a^2 - (b-c)^2 ＞ 0$。
由于 $a, b, c$ 是三角形的三边长，根据三角形三边关系有：
$a + b - c ＞ 0$（因为 $a + b ＞ c$），
$a - b + c ＞ 0$（因为 $a + c ＞ b$）。
因此，$(a + b - c)(a - b + c) ＞ 0$，即 $a^2 - (b-c)^2 ＞ 0$。
9. 利用平方差公式分解因式：
(1) $ -\frac{25}{9}x^{2}+\frac{81}{4}y^{2} $；
(2) $ (a+b)^{2}-(a-4b)^{2} $。
(1) $ -\frac{25}{9}x^{2}+\frac{81}{4}y^{2} $；
(2) $ (a+b)^{2}-(a-4b)^{2} $。
答案
(1)
原式 $-\frac{25}{9}x^{2}+\frac{81}{4}y^{2}$
$=\frac{81}{4}y^{2}-\frac{25}{9}x^{2}$
$=(\frac{9}{2}y)^{2}-(\frac{5}{3}x)^{2}$
$=(\frac{9}{2}y+\frac{5}{3}x)(\frac{9}{2}y - \frac{5}{3}x)$
(2)
原式 $(a + b)^{2}-(a - 4b)^{2}$
$=(a + b+a - 4b)[a + b-(a - 4b)]$
$=(2a - 3b)(a + b - a+4b)$
$=(2a - 3b)×5b$
$=5b(2a - 3b)$
原式 $-\frac{25}{9}x^{2}+\frac{81}{4}y^{2}$
$=\frac{81}{4}y^{2}-\frac{25}{9}x^{2}$
$=(\frac{9}{2}y)^{2}-(\frac{5}{3}x)^{2}$
$=(\frac{9}{2}y+\frac{5}{3}x)(\frac{9}{2}y - \frac{5}{3}x)$
(2)
原式 $(a + b)^{2}-(a - 4b)^{2}$
$=(a + b+a - 4b)[a + b-(a - 4b)]$
$=(2a - 3b)(a + b - a+4b)$
$=(2a - 3b)×5b$
$=5b(2a - 3b)$
10. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆。原理：如对于多项式 $ x^{4}-y^{4} $,因式分解的结果是 $ (x-y)(x+y)\cdot(x^{2}+y^{2}) $,若取 $ x= 9,y= 9 $,则各个因式的值是 $ (x-y)= 0,(x+y)= 18,(x^{2}+y^{2})= 162 $,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码。对于多项式 $ 4x^{3}-xy^{2} $,取 $ x= 10,y= 10 $ 时,用上述方法产生的密码可以是
101030
。(填一个即可)答案
101030
解析
解题步骤：
1. 因式分解多项式
$ 4x^{3} - xy^{2} = x(4x^{2} - y^{2}) = x(2x - y)(2x + y) $
2. 代入 $ x = 10 $, $ y = 10 $ 计算各因式值
$ x = 10 $
$ 2x - y = 2 × 10 - 10 = 10 $
$ 2x + y = 2 × 10 + 10 = 30 $
3. 组合因式值生成密码
各因式值为 $ 10 $, $ 10 $, $ 30 $，组合顺序不唯一，例如：$ 101030 $
1. 因式分解多项式
$ 4x^{3} - xy^{2} = x(4x^{2} - y^{2}) = x(2x - y)(2x + y) $
2. 代入 $ x = 10 $, $ y = 10 $ 计算各因式值
$ x = 10 $
$ 2x - y = 2 × 10 - 10 = 10 $
$ 2x + y = 2 × 10 + 10 = 30 $
3. 组合因式值生成密码
各因式值为 $ 10 $, $ 10 $, $ 30 $，组合顺序不唯一，例如：$ 101030 $
