8. 若抛物线 $ y = x^{2} + ax + b $ 与 $ x $ 轴两个交点间的距离为 $ 2 $,则称此抛物线为定弦抛物线. 已知某定弦抛物线的对称轴为直线 $ x = 1 $,将此抛物线向左平移 $ 1 $ 个单位,再向下平移 $ 3 $ 个单位,得到的抛物线的表达式为()
A.$ y = x^{2} - 4 $
B.$ y = (x - 2)^{2} - 2 $
C.$ y = x^{2} + 2 $
D.$ y = (x + 2)^{2} - 4 $

A

设原抛物线为 $y = x^{2} + ax + b$，对称轴为 $x = 1$，且两个交点间的距离为2，则交点为（0,0）与（2,0）（因为对称轴为x=1，且距离为2，所以交点横坐标为$1-1=0$与$1+1=2$）。
根据交点式，原抛物线可设为 $y = x(x - 2) = x^{2} - 2x$。
将该抛物线向左平移1个单位，得到新的抛物线 $y = (x + 1)^{2} - 2(x + 1) = x^{2} + 2x + 1 - 2x - 2 = x^{2} - 1$（实际上这一步是平移后的中间状态，为了与下一步合并）。
再将此抛物线 $y = x^{2} - 1$（实际根据平移规则，我们直接对原顶点式进行平移更简便）向下平移3个单位，得到 $y = x^{2} - 1 - 3 = x^{2} - 4$（若按照顶点式，原顶点为(1,-1)，平移后顶点为(0,-4)的抛物线 $y =x^{2} - 4$）。

9. 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 经过点 $ (-1,0) $,$ (3,0) $,且与 $ y $ 轴交于点 $ (0,-5) $,则当 $ x = 2 $ 时,$ y $ 的值为()
A.$ -5 $
B.$ -3 $
C.$ -1 $
D.$ 5 $

A

已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过点 $ (-1,0) $ 和 $ (3,0) $，
可设抛物线的交点式 $ y = a(x + 1)(x - 3) $。
将点 $ (0, -5) $ 代入方程：
$ -5 = a(0 + 1)(0 - 3) = -3a $，
解得 $ a = \frac{5}{3} $。
因此抛物线方程为：
$ y = \frac{5}{3}(x + 1)(x - 3) $。
当 $ x = 2 $ 时，
$ y = \frac{5}{3}(2 + 1)(2 - 3) = \frac{5}{3} × 3 × (-1) = -5 $。

10. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象如图所示,下列结论：① $ b^{2} - 4ac ＞ 0 $；② $ abc ＞ 0 $；③ $ 8a + c ＞ 0 $；④ $ 9a + 3b + c ＜ 0 $. 其中正确的个数是()

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

C

由图像可知：抛物线开口向上，$a＞0$；对称轴为$x=1$，即$-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a＜0$；与$x$轴交于$(-2,0)$，由对称性知另一交点为$(4,0)$，故与$x$轴有两个交点，$\Delta=b^2-4ac＞0$，①正确。
$c$为抛物线与$y$轴交点纵坐标，将$(-2,0)$代入得$4a-2b+c=0$，结合$b=-2a$，得$8a+c=0$，则$c=-8a＜0$。$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，故$abc＞0$，②正确。
由$8a+c=0$，知③错误。
当$x=3$时，$y=9a+3b+c=9a+3(-2a)+(-8a)=-5a＜0$，④正确。
综上，正确的有①②④，共3个。

11. 函数 $ y = -x^{2} - 4x + 6 $ 的最大值是.

10

$y=-x^2-4x+6=-(x^2+4x)+6=-(x^2+4x+4-4)+6=-(x+2)^2+10$，因为$-(x+2)^2\leq0$，所以当$x=-2$时，$y$有最大值$10$。

12. 抛物线 $ y = x^{2} - 5x + 6 $ 与 $ x $ 轴的交点坐标是.

$(2,0)$，$(3,0)$

令 $ y = 0 $，则 $ x^{2} - 5x + 6 = 0 $，因式分解得 $ (x - 2)(x - 3) = 0 $，解得 $ x_1 = 2 $，$ x_2 = 3 $，所以交点坐标是$(2,0)$，$(3,0)$。

13. 已知二次函数 $ y = x^{2} - 4ax + 4a^{2} + a - 1 $($ a $ 为常数),当 $ a $ 取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”. 当 $ a = t_{1} $,$ a = t_{2} $,$ a = t_{3} $,$ a = t_{4} $ 时,二次函数的图象如图所示,它们的顶点在一条直线上,则这条直线的表达式是.

$y = \frac{1}{2}x - 1$

将二次函数$y = x^2 - 4ax + 4a^2 + a - 1$配方得$y=(x - 2a)^2 + (a - 1)$，其顶点坐标为$(2a, a - 1)$。设顶点坐标为$(x, y)$，则$x = 2a$，$y = a - 1$。由$x = 2a$得$a=\frac{x}{2}$，代入$y = a - 1$得$y=\frac{x}{2}-1$，即顶点所在直线表达式为$y = \frac{1}{2}x - 1$。