13. 在平面直角坐标系$xOy$中,若反比例函数$y = \frac{k}{x}(k\neq0)的图象经过点A(1,2)和B( - 1,m)$,则$m$的值为。

$\boxed{-2}$（题目要求是填数值，所以直接给出$m$的值为$-2$的填写方式即为最终答案形式）

将点$A(1,2)$代入反比例函数$y = \frac{k}{x}$，得到$2 = \frac{k}{1}$，解得$k = 2$。
因此，反比例函数的解析式为$y = \frac{2}{x}$。
将点$B(-1,m)$代入$y = \frac{2}{x}$，得到$m = \frac{2}{-1} = -2$。

14. 如图,在平面直角坐标系中,直线$y_{1} = ax + b(a\neq0)与双曲线y_{2} = \frac{k}{x}(k\neq0)交于点A( - 1,m)$,$B(2, - 1)$。则满足$y_{1}\leq y_{2}的x$的取值范围是。

$-1\leq x＜0$或$x\geq2$

∵点$B(2,-1)$在双曲线$y_2=\frac{k}{x}$上，∴$k=2×(-1)=-2$，即$y_2=-\frac{2}{x}$。
∵点$A(-1,m)$在双曲线$y_2=-\frac{2}{x}$上，∴$m=-\frac{2}{-1}=2$，即$A(-1,2)$。
∵直线$y_1=ax+b$过$A(-1,2)$，$B(2,-1)$，
∴$\begin{cases}-a+b=2\\2a+b=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-1\\b=1\end{cases}$，即$y_1=-x+1$。
观察图像，直线与双曲线交于$A(-1,2)$，$B(2,-1)$，当$y_1\leq y_2$时，$x$的取值范围为$-1\leq x＜0$或$x\geq2$。

15. 如图,已知一次函数$y_{1} = kx + b与反比例函数y_{2} = \frac{m}{x}$的图象在第一、三象限分别交于$A(6,1)$,$B(a, - 3)$两点,连接$OA$,$OB$,则$\triangle AOB$的面积为。

8

已知$A(6,1)$在反比例函数$y_{2}=\frac{m}{x}$图象上，将$A(6,1)$代入$y_{2}=\frac{m}{x}$，可得$m = 6×1 = 6$，则反比例函数解析式为$y_{2}=\frac{6}{x}$。
因为$B(a,-3)$在反比例函数$y_{2}=\frac{6}{x}$图象上，将$B(a,-3)$代入$y_{2}=\frac{6}{x}$，可得$-3=\frac{6}{a}$，解得$a = - 2$，所以$B$点坐标为$(-2,-3)$。
将$A(6,1)$，$B(-2,-3)$代入一次函数$y_{1}=kx + b$，可得$\begin{cases}6k + b = 1\\-2k + b = -3\end{cases}$，
用第一个方程减去第二个方程消去$b$得：$6k + b-(-2k + b)=1-(-3)$，即$8k = 4$，解得$k=\frac{1}{2}$。
把$k=\frac{1}{2}$代入$6k + b = 1$，可得$6×\frac{1}{2}+b = 1$，$3 + b = 1$，解得$b=-2$，所以一次函数解析式为$y_{1}=\frac{1}{2}x-2$。
一次函数$y_{1}=\frac{1}{2}x - 2$与$x$轴交点，令$y = 0$，则$\frac{1}{2}x-2 = 0$，解得$x = 4$，所以与$x$轴交点坐标为$C(4,0)$。
$\triangle AOB$的面积可以以$C$点为中间量，$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}× OC×|y_{A}|=\frac{1}{2}×4×1 = 2$，$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}× OC×|y_{B}|=\frac{1}{2}×4×3 = 6$。
所以$S_{\triangle AOB}=2 + 6=8$。

16. 已知点$A(a,y_{1})$,$B(a + 1,y_{2})在反比例函数y = \frac{m^{2} + 1}{x}$($m$是常数)的图象上,且$y_{1}＜y_{2}$,则$a$的取值范围是。

$-1 \lt a \lt 0$（按照题目要求横线处填答案，若为填空题形式则直接填$-1 \lt a \lt 0$）

由反比例函数$y = \frac{m^{2} + 1}{x}$可知，$m^{2} + 1 ＞ 0$，所以该函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内$y$随$x$的增大而减小。
已知点$A(a,y_{1})$，$B(a + 1,y_{2})$在该函数图象上，且$y_{1} \lt y_{2}$。
当$A$、$B$都在第一象限，即$a\gt0$且$a + 1\gt0$，$y$随$x$的增大而减小，要使$y_{1} \lt y_{2}$，则$a\lt a + 1$（恒成立），同时$a\gt0$，且由$y$随$x$增大而减小可知$a\gt0$时满足$y_{1} \lt y_{2}$需$a\lt a + 1$（恒成立），综合得$a\gt0$不满足（这里要继续分析其他情况，仅$a\gt0$不全面）。
当$A$、$B$都在第三象限，即$a\lt0$且$a + 1\lt0$，$y$随$x$的增大而减小，要使$y_{1} \lt y_{2}$，则$a\lt a + 1$（恒成立），由$a + 1\lt0$得$a\lt - 1$。
当$A$在第三象限，$B$在第一象限，即$a\lt0$且$a + 1\gt0$，此时一定有$y_{1}\lt0\lt y_{2}$，满足$y_{1} \lt y_{2}$，由$a\lt0$且$a + 1\gt0$，解得$-1\lt a\lt0$。
综合以上情况，取并集得$a$的取值范围是$-1\lt a\lt0$。

17. (6 分)如图,点$A在函数y = \frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,点$B在x$轴上,$AO = AB$。若$\triangle OAB$的面积为 3,求$k$的值。

$ 3 $

设点$ A $的坐标为$ (a,b) $，其中$ a＞0 $，$ b＞0 $。
因为点$ A $在函数$ y = \frac{k}{x}(x＞0) $的图象上，所以$ b=\frac{k}{a} $，即$ k = ab $。
因为点$ B $在$ x $轴上，设点$ B $的坐标为$ (c,0) $。
由于$ AO = AB $，根据两点间距离公式可得：
$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(a - c)^2 + b^2}$
两边平方化简得：$ a^2 = (a - c)^2 $，即$ a^2 = a^2 - 2ac + c^2 $，解得$ c = 2a $（$ c=0 $舍去，因为$ O $与$ B $不重合），所以点$ B $的坐标为$ (2a,0) $。
$\triangle OAB$的底为$ OB = 2a $，高为点$ A $的纵坐标$ b $，其面积为$ \frac{1}{2} × 2a × b = ab $。
已知$\triangle OAB$的面积为$ 3 $，所以$ ab = 3 $，因此$ k = ab = 3 $。