6. 关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x - 1 = 0$的根的情况为()
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定

B

对于一元二次方程 $x^{2}-2x - 1 = 0$，其中 $a = 1$，$b = -2$，$c = -1$，判别式 $\Delta=b^{2}-4ac$，将 $a = 1$，$b = -2$，$c = -1$ 代入可得 $\Delta=(-2)^{2}-4×1×(-1)=4 + 4 = 8$。因为 $\Delta=8＞0$，所以方程有两个不相等的实数根。

7. 某校交响乐团有90名成员,下表是合唱团成员的年龄分布统计表.对于不同的$x$,下列关于年龄的统计量不会发生改变的是()

A.众数、中位数
B.平均数、方差
C.平均数、中位数
D.众数、方差

A

首先，根据统计表，13岁有17人，14岁有29人，15岁有$x$人，16岁有$26 - x$人，17岁有18人。
总人数为90，因此：
$17 + 29 + x + (26 - x) + 18 = 90$，
这个等式恒成立，说明$x$可以是任何使得频数非负的数值，即$0 \leq x \leq 26$。
接下来，分析各统计量：
众数：出现次数最多的年龄。14岁的频数最高（29人），因此众数为14岁，这个不会随$x$变化而改变。
中位数：由于总人数为90（偶数），中位数是第45和第46个数据的平均数。按照年龄从小到大排列，前17个是13岁，接下来29个是14岁，因此第45和第46个数据都落在14岁或（14岁和15岁之间，但由于$x$的变化，但14岁的人数已经足够多，保证中位数为14岁或14.5岁的情况不会发生，因为15岁和16岁的人数总和为26，小于29，所以中位数一定是14岁或15岁中的一个，但由于14岁人数多于15岁，所以中位数一定是14岁（当$x$较小时）或14.5岁（当$x$较大时的情况不会出现，因为16岁的人数有$26-x$，与15岁人数总和最多为26，仍小于29），但在这个特定情况下，由于14岁人数已经超过45，所以中位数一定是14岁。经过仔细分析，可以发现无论$x$如何变化，中位数始终是14岁（因为14岁的人数已经超过了总人数的一半）。
平均数：会随$x$变化而改变，因为15岁和16岁的年龄和频数都受$x$影响。
方差：也会随$x$变化而改变，因为方差涉及到每个数据与平均数的差的平方。
因此，只有众数和中位数不会随$x$变化而改变。

8. 若关于$x$的方程$\frac{2}{x - 2}+\frac{m}{2 - x}=2$的解为正数,则$m$的取值范围是()
A.$m ＜ 6$
B.$m ＞ 6$
C.$m ＞ 6$且$m\neq10$
D.$m ＜ 6$且$m\neq2$

D

首先，将方程$\frac{2}{x - 2} + \frac{m}{2 - x} = 2$化简，注意到$2 - x = -(x - 2)$，所以方程可变形为：
$\frac{2}{x - 2} - \frac{m}{x - 2} = 2$，
合并同类项得：
$\frac{2 - m}{x - 2} = 2$，
去分母得：
$2 - m = 2(x - 2)$，
进一步化简为：
$2 - m = 2x - 4$，
解得：
$x = \frac{6 - m}{2}$，
由题意，方程的解$x$为正数，即：
$\frac{6 - m}{2} ＞ 0$，
解得：
$m ＜ 6$，
另外，由于分母$x - 2 \neq 0$，所以$x \neq 2$，即：
$\frac{6 - m}{2} \neq 2$，
解得：
$m \neq 2$，
综上，$m$的取值范围是$m ＜ 6$且$m \neq 2$。

9. 如图,$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆,$AB$是直径,过点$C$的切线交$AB$的延长线于点$D$,若$\tan\angle BCD=\frac{1}{2}$,$AD = 8$cm,则$\odot O$的半径长为()

A.$2$cm
B.$\sqrt{5}$cm
C.$3$cm
D.$\frac{3}{2}\sqrt{5}$cm

C

设⊙O半径为r，AD=8，AB=2r，BD=AD-AB=8-2r。
∵AB是直径，∴∠ACB=90°。
∵CD是切线，∴OC⊥CD，∠OCD=90°。
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC。
∵∠ACB=∠OCD=90°，∴∠ACO=∠BCD（等角的余角相等）。
又∠A=∠ACO（OC=OA），∴∠A=∠BCD。
∵∠ADC=∠CDB（公共角），∠A=∠BCD，∴△ACD∽△CBD。
∴AC/CB=AD/CD=CD/BD。
∵tan∠BCD=1/2，∠A=∠BCD，∴tan∠A=BC/AC=1/2，即AC=2BC，∴AC/CB=2。
∴AD/CD=2，CD=AD/2=8/2=4；CD/BD=2，BD=CD/2=4/2=2。
∵BD=8-2r=2，∴2r=6，r=3。

10. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的部分图象如图所示,图象过点$(-1,0)$,对称轴为直线$x = 2$,下列结论:①$4a + b = 0$;②$9a + c ＞ - 3b$;③$7a - 3b + 2c ＞ 0$;④若方程$a(x + 1)(x - 5)= - 3$的两根为$x_{1}$和$x_{2}$,且$x_{1} ＜ x_{2}$,则$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}＞26$.其中正确的个数是()

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

C

1. 根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=2$，可得$b = - 4a$，即$4a + b = 0$，所以①正确。
2. 已知图象过点$(-1,0)$，代入$y = ax^{2}+bx + c$得$a - b + c = 0$，把$b = - 4a$代入得$c=-5a$。
$9a + c+3b=9a-5a - 12a=-8a$，由抛物线开口向下得$a\lt0$，所以$-8a\gt0$，即$9a + c\gt - 3b$，②正确。
3. $7a - 3b + 2c=7a+12a - 10a = 9a$，因为$a\lt0$，所以$7a - 3b + 2c\lt0$，③错误。
4. 方程$a(x + 1)(x - 5)= - 3$，即$ax^{2}-4ax + c+3 = 0$，因为$b = - 4a$，$c=-5a$，设方程的两根为$x_1$，$x_2$，根据韦达定理$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2=\frac{c + 3}{a}=\frac{-5a+3}{a}=-5+\frac{3}{a}$。
$x_1^{2}+x_2^{2}=(x_1 + x_2)^{2}-2x_1x_2=16-2(-5+\frac{3}{a})=26-\frac{6}{a}$，因为$a\lt0$，所以$-\frac{6}{a}\gt0$，则$x_1^{2}+x_2^{2}\gt26$，④正确。
综上，①②④正确，共$3$个。

11. 函数$y=\frac{\sqrt{x - 2}}{x}$的自变量$x$的取值范围为.

$x \geq 2$（或写为$[2, +\infty)$ ，由于本题是填空题，按照要求直接填写答案形式即可，这里以文字描述形式给出）

要确定函数 $ y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x} $ 的自变量 $ x $ 的取值范围，需满足以下两个条件：
1. 分母 $ x \neq 0 $；
2. 根号内的表达式 $ x - 2 \geq 0 $，即 $ x \geq 2 $。
综合这两个条件，自变量 $ x $ 的取值范围为 $ x \geq 2 $。

12. 分解因式$am^{2}-a$的结果是.

$a(m+1)(m-1)$

先提取公因式$a$，得到$a(m^{2}-1)$，再利用平方差公式分解$m^{2}-1$为$(m+1)(m-1)$，所以结果为$a(m+1)(m-1)$