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18. (6 分)在四张编号为 $A,B,C,D$ 的卡片(除编号外,其余完全相同)的正面分别写上如图所示的正整数,背面向上,洗匀放好.现从中随机抽取一张(不放回),再从剩下的卡片中随机抽取一张.
(1) 请用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果.(卡片用 $A,B,C,D$ 表示)
(2) 我们知道,满足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 的三个正整数 $a,b,c$ 称为勾股数,求抽出的两张卡片上的数都是勾股数的概率.
(1) 请用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果.(卡片用 $A,B,C,D$ 表示)
(2) 我们知道,满足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 的三个正整数 $a,b,c$ 称为勾股数,求抽出的两张卡片上的数都是勾股数的概率.
答案
(1) 列表法：
| 第一次\第二次 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | - | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | - | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | - | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | - |
(2) 由$3^2 + 4^2 = 5^2$，$5^2+12^2=13^2$，$6^2 + 8^2 = 10^2$，可知$B$、$C$、$D$卡片上的数都是勾股数，从所有等可能结果中抽出两张卡片上的数都是勾股数的结果有$BD$、$CD$、$BC$、$DB$、$DC$、$CB$，共$6$种，而所有可能结果有$12$种，所以$P = \frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
综上，答案依次为：(1)见上述表格；(2)$\frac{1}{2}$。
| 第一次\第二次 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | - | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | - | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | - | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | - |
(2) 由$3^2 + 4^2 = 5^2$，$5^2+12^2=13^2$，$6^2 + 8^2 = 10^2$，可知$B$、$C$、$D$卡片上的数都是勾股数，从所有等可能结果中抽出两张卡片上的数都是勾股数的结果有$BD$、$CD$、$BC$、$DB$、$DC$、$CB$，共$6$种，而所有可能结果有$12$种，所以$P = \frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
综上，答案依次为：(1)见上述表格；(2)$\frac{1}{2}$。
19. (6 分)为了引导学生积极参与体育运动,某校举办了一分钟跳绳比赛,随机抽取了 $40$ 名学生一分钟跳绳的次数进行统计分析,并根据调查统计结果绘制了如下表格和统计图.
请结合上述信息回答下列问题.
(1) $a=$
(2) 请补全频数分布直方图.
(3) 在扇形统计图中,求出“良好”等级对应的圆心角的度数.
(4) 若该校有 $2000$ 名学生,根据抽样调查结果,请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数.
请结合上述信息回答下列问题.
(1) $a=$
0.1
,$b=$0.3
.(2) 请补全频数分布直方图.
见解析
(3) 在扇形统计图中,求出“良好”等级对应的圆心角的度数.
126°
(4) 若该校有 $2000$ 名学生,根据抽样调查结果,请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数.
1800人
答案
(1) 0.1，0.3；
(2) 见解析；
(3) 126°；
(4) 1800人
解析
(1) 0.1；0.3
(2) 良好频数为14，优秀频数为10，补全直方图（图略）
(3) 良好频率为1 - 0.1 - 0.3 - 0.25 = 0.35，圆心角为0.35×360°=126°
(4) 合格及以上频率为1 - 0.1 = 0.9，估计人数为2000×0.9=1800人
