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4. 小明往一合金球空心部分注入某液体时测得注入液体与合金球的总质量$m$和液体体积$V$的关系如图6-4-8所示。当液体与合金球的总质量为90 g时，液体恰好将合金球的空心部分注满。（已知$\rho_{\mathrm{合金}} = 4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$）求：
（1）空心合金球的质量；
（2）该液体的密度；
（3）这个空心球整体的体积是多大？
（1）空心合金球的质量；
（2）该液体的密度；
（3）这个空心球整体的体积是多大？
答案
4. (1)由图可知，空心合金球的质量为40 g。
(2)由图可知，当注入$25\ \mathrm{cm}^3$的液体时，总质量为60 g，注入液体的质量为$m=60\ \mathrm{g}-40\ \mathrm{g}=20\ \mathrm{g}$。液体的密度为$\rho=\frac{m}{V}=\frac{20\ \mathrm{g}}{25\ \mathrm{cm}^3}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
(3)液体恰好将合金球的空心部分注满时，总质量为90 g，此时液体的质量为$m_0=90\ \mathrm{g}-40\ \mathrm{g}=50\ \mathrm{g}$，合金球空心部分的体积为$V_0=\frac{m_0}{\rho}=\frac{50\ \mathrm{g}}{0.8\ \mathrm{g/cm}^3}=62.5\ \mathrm{cm}^3$。合金球金属部分的体积为$V_{金}=\frac{m_{金}}{\rho_{金}}=\frac{40\ \mathrm{g}}{4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=10\ \mathrm{cm}^3$，则合金球总体积为$V_{合金球}=62.5\ \mathrm{cm}^3+10\ \mathrm{cm}^3=72.5\ \mathrm{cm}^3$。
(2)由图可知，当注入$25\ \mathrm{cm}^3$的液体时，总质量为60 g，注入液体的质量为$m=60\ \mathrm{g}-40\ \mathrm{g}=20\ \mathrm{g}$。液体的密度为$\rho=\frac{m}{V}=\frac{20\ \mathrm{g}}{25\ \mathrm{cm}^3}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
(3)液体恰好将合金球的空心部分注满时，总质量为90 g，此时液体的质量为$m_0=90\ \mathrm{g}-40\ \mathrm{g}=50\ \mathrm{g}$，合金球空心部分的体积为$V_0=\frac{m_0}{\rho}=\frac{50\ \mathrm{g}}{0.8\ \mathrm{g/cm}^3}=62.5\ \mathrm{cm}^3$。合金球金属部分的体积为$V_{金}=\frac{m_{金}}{\rho_{金}}=\frac{40\ \mathrm{g}}{4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=10\ \mathrm{cm}^3$，则合金球总体积为$V_{合金球}=62.5\ \mathrm{cm}^3+10\ \mathrm{cm}^3=72.5\ \mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】
本题需结合m-V图像分析总质量与液体体积的关系，解题思路如下：①当注入液体体积为0时，总质量即为空心合金球的质量；②选取图像中某一液体体积对应的总质量，减去合金球质量得到该体积液体的质量，利用密度公式计算液体密度；③当总质量为90g时，先求出此时液体的质量，结合液体密度算出空心部分体积，再根据合金密度和合金球质量算出合金部分体积，两者相加得到空心球的整体体积。
【解析】
解：（1）由图像可知，当液体体积$ V=0 $时，总质量等于空心合金球的质量，即$ m_{球}=40\ \mathrm{g} $；
（2）当注入液体体积$ V_1=25\ \mathrm{cm}^3 $时，总质量$ m_{总1}=60\ \mathrm{g} $，此时注入液体的质量：
$ m_{液1}=m_{总1}-m_{球}=60\ \mathrm{g}-40\ \mathrm{g}=20\ \mathrm{g} $，
液体的密度：
$ \rho_{液}=\frac{m_{液1}}{V_1}=\frac{20\ \mathrm{g}}{25\ \mathrm{cm}^3}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3 $；
（3）当总质量为90g时，注入液体的质量：
$ m_{液2}=m_{总2}-m_{球}=90\ \mathrm{g}-40\ \mathrm{g}=50\ \mathrm{g} $，
合金球空心部分的体积：
$ V_{空}=\frac{m_{液2}}{\rho_{液}}=\frac{50\ \mathrm{g}}{0.8\ \mathrm{g/cm}^3}=62.5\ \mathrm{cm}^3 $，
已知$ \rho_{合金}=4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=4\ \mathrm{g/cm}^3 $，合金部分的体积：
$ V_{金}=\frac{m_{球}}{\rho_{合金}}=\frac{40\ \mathrm{g}}{4\ \mathrm{g/cm}^3}=10\ \mathrm{cm}^3 $，
则空心球整体的体积：
$ V_{总}=V_{空}+V_{金}=62.5\ \mathrm{cm}^3+10\ \mathrm{cm}^3=72.5\ \mathrm{cm}^3 $。
【答案】
（1）空心合金球的质量为$ 40\ \mathrm{g} $；（2）该液体的密度为$ 0.8\ \mathrm{g/cm}^3 $；（3）空心球整体的体积为$ 72.5\ \mathrm{cm}^3 $。
【知识点】
密度计算、m-V图像应用、空心物体体积计算
【点评】
本题结合m-V图像考查密度相关计算，核心是理解图像中各物理量的对应关系，区分空心部分与合金部分的体积，需熟练运用密度公式及其变形，属于中等难度的密度应用题型。
【难度系数】
0.5
本题需结合m-V图像分析总质量与液体体积的关系，解题思路如下：①当注入液体体积为0时，总质量即为空心合金球的质量；②选取图像中某一液体体积对应的总质量，减去合金球质量得到该体积液体的质量，利用密度公式计算液体密度；③当总质量为90g时，先求出此时液体的质量，结合液体密度算出空心部分体积，再根据合金密度和合金球质量算出合金部分体积，两者相加得到空心球的整体体积。
【解析】
解：（1）由图像可知，当液体体积$ V=0 $时，总质量等于空心合金球的质量，即$ m_{球}=40\ \mathrm{g} $；
（2）当注入液体体积$ V_1=25\ \mathrm{cm}^3 $时，总质量$ m_{总1}=60\ \mathrm{g} $，此时注入液体的质量：
$ m_{液1}=m_{总1}-m_{球}=60\ \mathrm{g}-40\ \mathrm{g}=20\ \mathrm{g} $，
液体的密度：
$ \rho_{液}=\frac{m_{液1}}{V_1}=\frac{20\ \mathrm{g}}{25\ \mathrm{cm}^3}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3 $；
（3）当总质量为90g时，注入液体的质量：
$ m_{液2}=m_{总2}-m_{球}=90\ \mathrm{g}-40\ \mathrm{g}=50\ \mathrm{g} $，
合金球空心部分的体积：
$ V_{空}=\frac{m_{液2}}{\rho_{液}}=\frac{50\ \mathrm{g}}{0.8\ \mathrm{g/cm}^3}=62.5\ \mathrm{cm}^3 $，
已知$ \rho_{合金}=4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=4\ \mathrm{g/cm}^3 $，合金部分的体积：
$ V_{金}=\frac{m_{球}}{\rho_{合金}}=\frac{40\ \mathrm{g}}{4\ \mathrm{g/cm}^3}=10\ \mathrm{cm}^3 $，
则空心球整体的体积：
$ V_{总}=V_{空}+V_{金}=62.5\ \mathrm{cm}^3+10\ \mathrm{cm}^3=72.5\ \mathrm{cm}^3 $。
【答案】
（1）空心合金球的质量为$ 40\ \mathrm{g} $；（2）该液体的密度为$ 0.8\ \mathrm{g/cm}^3 $；（3）空心球整体的体积为$ 72.5\ \mathrm{cm}^3 $。
【知识点】
密度计算、m-V图像应用、空心物体体积计算
【点评】
本题结合m-V图像考查密度相关计算，核心是理解图像中各物理量的对应关系，区分空心部分与合金部分的体积，需熟练运用密度公式及其变形，属于中等难度的密度应用题型。
【难度系数】
0.5
5. 甲、乙是两个由同种材料制成的金属球，甲球质量为 60 g、体积为12 cm³，乙球质量为 120 g、体积为 16 cm³。这两个金属球，一个是实心的、一个是空心的。请你通过计算判断哪个是实心的，哪个是空心的，并求出构成实心球材料的密度和空心球空心部分的体积。
答案
5. $\rho_甲=\frac{m_甲}{V_甲}=\frac{60\ \mathrm{g}}{12\ \mathrm{cm}^3}=5\ \mathrm{g/cm}^3$，$\rho_乙=\frac{m_乙}{V_乙}=\frac{120\ \mathrm{g}}{16\ \mathrm{cm}^3}=7.5\ \mathrm{g/cm}^3$。甲、乙是两个由同种材料制成的金属球，$\rho_甲＜\rho_乙$，则甲为空心的，乙为实心的。金属的密度为$\rho=7.5\ \mathrm{g/cm}^3$。甲球质量为60 g，实心部分体积为$V_{甲实}=\frac{m_甲}{\rho}=\frac{60\ \mathrm{g}}{7.5\ \mathrm{g/cm}^3}=8\ \mathrm{cm}^3$，空心部分的体积是$V_{空}=V_甲-V_{甲实}=12\ \mathrm{cm}^3-8\ \mathrm{cm}^3=4\ \mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】
要判断实心和空心，需利用同种材料制成的实心球密度等于材料密度，空心球因含空心部分，整体密度小于材料密度的特点。先分别计算甲、乙两球的密度，密度大的为实心球，其密度即材料密度；再根据材料密度计算空心球的实心部分体积，用空心球总体积减去实心部分体积，即可得到空心部分体积。
【解析】
1. 计算甲、乙两球的密度：
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得：
甲球密度$\rho_甲=\frac{m_甲}{V_甲}=\frac{60\ \mathrm{g}}{12\ \mathrm{cm}^3}=5\ \mathrm{g/cm}^3$；
乙球密度$\rho_乙=\frac{m_乙}{V_乙}=\frac{120\ \mathrm{g}}{16\ \mathrm{cm}^3}=7.5\ \mathrm{g/cm}^3$。
2. 判断实心、空心球：
甲、乙由同种材料制成，实心球密度等于材料密度，空心球密度小于材料密度，因$\rho_甲＜\rho_乙$，故乙球为实心，甲球为空心，材料密度$\rho=\rho_乙=7.5\ \mathrm{g/cm}^3$。
3. 计算甲球空心部分体积：
甲球实心部分体积$V_{甲实}=\frac{m_甲}{\rho}=\frac{60\ \mathrm{g}}{7.5\ \mathrm{g/cm}^3}=8\ \mathrm{cm}^3$；
空心部分体积$V_{空}=V_甲 - V_{甲实}=12\ \mathrm{cm}^3 - 8\ \mathrm{cm}^3=4\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
乙球是实心的，甲球是空心的；构成实心球材料的密度为$7.5\ \mathrm{g/cm}^3$，空心球空心部分的体积为$4\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
密度的计算、空心物体体积计算
【点评】
本题考查密度公式的实际应用，核心是利用同种材料实心球与空心球的密度关系判断实心性，进而计算空心体积，属于密度知识的基础应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
要判断实心和空心，需利用同种材料制成的实心球密度等于材料密度，空心球因含空心部分，整体密度小于材料密度的特点。先分别计算甲、乙两球的密度，密度大的为实心球，其密度即材料密度；再根据材料密度计算空心球的实心部分体积，用空心球总体积减去实心部分体积，即可得到空心部分体积。
【解析】
1. 计算甲、乙两球的密度：
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得：
甲球密度$\rho_甲=\frac{m_甲}{V_甲}=\frac{60\ \mathrm{g}}{12\ \mathrm{cm}^3}=5\ \mathrm{g/cm}^3$；
乙球密度$\rho_乙=\frac{m_乙}{V_乙}=\frac{120\ \mathrm{g}}{16\ \mathrm{cm}^3}=7.5\ \mathrm{g/cm}^3$。
2. 判断实心、空心球：
甲、乙由同种材料制成，实心球密度等于材料密度，空心球密度小于材料密度，因$\rho_甲＜\rho_乙$，故乙球为实心，甲球为空心，材料密度$\rho=\rho_乙=7.5\ \mathrm{g/cm}^3$。
3. 计算甲球空心部分体积：
甲球实心部分体积$V_{甲实}=\frac{m_甲}{\rho}=\frac{60\ \mathrm{g}}{7.5\ \mathrm{g/cm}^3}=8\ \mathrm{cm}^3$；
空心部分体积$V_{空}=V_甲 - V_{甲实}=12\ \mathrm{cm}^3 - 8\ \mathrm{cm}^3=4\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
乙球是实心的，甲球是空心的；构成实心球材料的密度为$7.5\ \mathrm{g/cm}^3$，空心球空心部分的体积为$4\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
密度的计算、空心物体体积计算
【点评】
本题考查密度公式的实际应用，核心是利用同种材料实心球与空心球的密度关系判断实心性，进而计算空心体积，属于密度知识的基础应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
动手实验
饱和溶液是指在一定温度和压强下，溶质在溶剂中已经达到最大溶解度的溶液。在这个状态下，溶质的溶解速率与沉淀速率达到动态平衡。尝试利用不同颜色的颜料将洗洁精、饱和的糖水、酒精等液体染色，依次沿着杯壁注入同一个烧杯，观察现象，思考出现该现象的原因。
饱和溶液是指在一定温度和压强下，溶质在溶剂中已经达到最大溶解度的溶液。在这个状态下，溶质的溶解速率与沉淀速率达到动态平衡。尝试利用不同颜色的颜料将洗洁精、饱和的糖水、酒精等液体染色，依次沿着杯壁注入同一个烧杯，观察现象，思考出现该现象的原因。
答案
解：
实验现象：三种染色后的液体在烧杯中形成互不混合的清晰分层，从烧杯底部向上依次为洗洁精层、饱和糖水层、酒精层，短时间内各层不会发生明显混合。
现象原因：不同液体的密度一般不同，三种液体的密度大小关系为$\rho_{\mathrm{洗洁精}} ＞ \rho_{\mathrm{饱和糖水}} ＞ \rho_{\mathrm{酒精}}$，密度更大的液体单位体积的质量更大，在重力作用下密度大的液体会处于下层，密度小的液体会处于上层，沿杯壁缓慢注入的操作避免了液体剧烈搅动，因此可以形成稳定的分层效果。
答：观察到三种染色液体按密度从大到小的顺序自下而上分层，出现该现象的核心原因是三种液体的密度各不相同，密度大的液体位置更低，密度小的液体位置更高，因此形成分层。
实验现象：三种染色后的液体在烧杯中形成互不混合的清晰分层，从烧杯底部向上依次为洗洁精层、饱和糖水层、酒精层，短时间内各层不会发生明显混合。
现象原因：不同液体的密度一般不同，三种液体的密度大小关系为$\rho_{\mathrm{洗洁精}} ＞ \rho_{\mathrm{饱和糖水}} ＞ \rho_{\mathrm{酒精}}$，密度更大的液体单位体积的质量更大，在重力作用下密度大的液体会处于下层，密度小的液体会处于上层，沿杯壁缓慢注入的操作避免了液体剧烈搅动，因此可以形成稳定的分层效果。
答：观察到三种染色液体按密度从大到小的顺序自下而上分层，出现该现象的核心原因是三种液体的密度各不相同，密度大的液体位置更低，密度小的液体位置更高，因此形成分层。
解析
【分析】
本题为实验探究类题目，解题思路如下：首先明确实验操作是将三种染色液体沿杯壁缓慢注入同一烧杯，需结合不同液体的物理性质（核心是密度）分析现象。第一步，回忆不同液体的密度大小关系；第二步，理解密度对液体分层的作用：密度大的液体在重力作用下处于下层，密度小的处于上层；第三步，明确沿杯壁缓慢注入的操作可避免液体剧烈混合，从而形成稳定分层，最终得出观察到的现象及原因。
【解析】
实验现象：三种染色后的液体在烧杯中形成互不混合的清晰分层，从烧杯底部向上依次为洗洁精层、饱和糖水层、酒精层，短时间内各层不会发生明显混合。
现象原因：不同液体的密度一般不同，三种液体的密度大小关系为$\rho_{\mathrm{洗洁精}} ＞ \rho_{\mathrm{饱和糖水}} ＞ \rho_{\mathrm{酒精}}$，密度更大的液体单位体积的质量更大，在重力作用下密度大的液体会处于下层，密度小的液体会处于上层；沿杯壁缓慢注入的操作避免了液体剧烈搅动，因此可以形成稳定的分层效果。
【答案】
观察到三种染色液体按密度从大到小的顺序自下而上分层，出现该现象的核心原因是三种液体的密度各不相同，密度大的液体位置更低，密度小的液体位置更高，因此形成分层。
【知识点】
密度、液体分层
【点评】
该实验为动手探究类题目，通过简单操作直观呈现不同液体的分层现象，将抽象的密度概念转化为可观察的实际现象，帮助学生理解密度的应用，同时结合饱和溶液的概念，加深对溶液性质的认识，操作简便、现象明显，适合学生自主完成与分析。
【难度系数】
0.3
本题为实验探究类题目，解题思路如下：首先明确实验操作是将三种染色液体沿杯壁缓慢注入同一烧杯，需结合不同液体的物理性质（核心是密度）分析现象。第一步，回忆不同液体的密度大小关系；第二步，理解密度对液体分层的作用：密度大的液体在重力作用下处于下层，密度小的处于上层；第三步，明确沿杯壁缓慢注入的操作可避免液体剧烈混合，从而形成稳定分层，最终得出观察到的现象及原因。
【解析】
实验现象：三种染色后的液体在烧杯中形成互不混合的清晰分层，从烧杯底部向上依次为洗洁精层、饱和糖水层、酒精层，短时间内各层不会发生明显混合。
现象原因：不同液体的密度一般不同，三种液体的密度大小关系为$\rho_{\mathrm{洗洁精}} ＞ \rho_{\mathrm{饱和糖水}} ＞ \rho_{\mathrm{酒精}}$，密度更大的液体单位体积的质量更大，在重力作用下密度大的液体会处于下层，密度小的液体会处于上层；沿杯壁缓慢注入的操作避免了液体剧烈搅动，因此可以形成稳定的分层效果。
【答案】
观察到三种染色液体按密度从大到小的顺序自下而上分层，出现该现象的核心原因是三种液体的密度各不相同，密度大的液体位置更低，密度小的液体位置更高，因此形成分层。
【知识点】
密度、液体分层
【点评】
该实验为动手探究类题目，通过简单操作直观呈现不同液体的分层现象，将抽象的密度概念转化为可观察的实际现象，帮助学生理解密度的应用，同时结合饱和溶液的概念，加深对溶液性质的认识，操作简便、现象明显，适合学生自主完成与分析。
【难度系数】
0.3
